Em uma barra de combustível cilíndrica de um reator nuclear, calor é gerado internamente de acordo com a equação:
Onde:
é a taxa local de geração de calor por unidade de volume em
é o raio externo;
é a taxa de geração de calor por unidade de volume no centro da barra.
Calcule a queda de temperatura do centro à superfície para uma barra de diâmetro igual a
, tendo condutividade térmica de
, se o fluxo de calor removido de sua superfície é
.
Calcule a queda de temperatura do centro à superfície para uma barra de diâmetro igual a
Passo 1
O que o problema pede: calcular a queda de temperatura do centro até a superfície da barra, ou seja
.
Dados fornecidos:
Diâmetro da barra:
(portanto
).
Condutividade térmica: .
Fluxo de calor removido na superfície: .
Condutividade térmica:
Fluxo de calor removido na superfície:
Observação: o fluxo superficial dado é o fluxo radial na superfície, isto é
.
A resolução começa a seguir.
Passo 2
Equação governante (estado estacionário, simetria axial e independente de
e
): a equação diferencial radial com geração volumétrica é
Explicando cada termo:
-
é a temperatura radial. -
é a forma em coordenadas cilíndricas da divergência do gradiente de temperatura (segunda derivada radial efetiva). -
é a geração volumétrica local de calor (W/m^3). -
é a condutividade térmica.
Outra relação útil é o fluxo radial (fluxo por unidade de área perpendicular), definido por a Lei de Fourier:
Passo 3
Vamos integrar a equação governante uma vez. Multiplicando por
e integrando de
até
:
Pela simetria no centro a derivada deve ser finita e
, o que implica
. Portanto
Multiplicando por
e usando
, obtemos a expressão do fluxo radial:
Agora substituímos
e calculamos a integral:
Logo
Passo 4
Usamos a condição na superfície: o fluxo radial em
é o dado
:
Portanto podemos obter
a partir de
:
Passo 5
Agora calculamos a queda de temperatura entre o centro e a superfície. Como
,
Substituindo
:
Calcule as integrais:
Portanto
Substituindo
obtemos uma forma direta em termos do fluxo superficial:
Passo 6
Agora aplicamos os números:
Calculemos:
Compute passo a passo:
Arredondando razoavelmente: