Em uma barra de combustível cilíndrica de um reator nuclear, calor é gerado internamente de acordo com a equação:
\dot{q}(r)=\dot{q}_{1}\left[1-\left(\frac{r}{r_{E}}\right)^{2}\right]
Onde: \dot{q} é a taxa local de geração de calor por unidade de volume em r ; r_{E} é o raio externo; \dot{q}_{1} é a taxa de geração de calor por unidade de volume no centro da barra.
Calcule a queda de temperatura do centro à superfície para uma barra de diâmetro igual a 2,5 \mathrm{~cm}, tendo condutividade térmica de 26 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K}, se o fluxo de calor removido de sua superfície é 1,6 \mathrm{MW} / \mathrm{m}^{2}.

Passo 1

O que o problema pede: calcular a queda de temperatura do centro até a superfície da barra, ou seja \Delta T = T(0)-T(r_{E}).
Dados fornecidos:
\dot{q}(r)=\dot{q}_{1}\left[1-\left(\frac{r}{r_{E}}\right)^{2}\right]
Diâmetro da barra: 2{,}5\\ \mathrm{cm} (portanto r_{E}=1{,}25\\ \mathrm{cm}=0{,}0125\\ \mathrm{m}).
Condutividade térmica: k=26\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
Fluxo de calor removido na superfície: q''_{s}=1{,}6\\ \mathrm{MW/m^{2}}=1{,}6\times10^{6}\\ \mathrm{W/m^{2}}.
Observação: o fluxo superficial dado é o fluxo radial na superfície, isto é q_{r}(r_{E})=q''_{s}.
A resolução começa a seguir.

Passo 2

Equação governante (estado estacionário, simetria axial e independente de \theta e z): a equação diferencial radial com geração volumétrica é
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dT}{dr}\right)+\frac{\dot{q}(r)}{k}=0.
Explicando cada termo:
  • T(r) é a temperatura radial.
  • \frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dT}{dr}\right) é a forma em coordenadas cilíndricas da divergência do gradiente de temperatura (segunda derivada radial efetiva).
  • \dot{q}(r) é a geração volumétrica local de calor (W/m^3).
  • k é a condutividade térmica.
Outra relação útil é o fluxo radial (fluxo por unidade de área perpendicular), definido por a Lei de Fourier:
q_{r}(r)=-k\frac{dT}{dr}.

Passo 3

Vamos integrar a equação governante uma vez. Multiplicando por r e integrando de 0 até r:
\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dT}{dr}\right) = -\frac{r\dot{q}(r)}{k}
r\frac{dT}{dr} = -\frac{1}{k}\int_{0}^{r} s\,\dot{q}(s)\,ds + C_{1}.
Pela simetria no centro a derivada deve ser finita e dT/dr(0)=0, o que implica C_{1}=0. Portanto
r\frac{dT}{dr} = -\frac{1}{k}\int_{0}^{r} s\,\dot{q}(s)\,ds.
Multiplicando por -k/r e usando q_{r}(r)=-k\,dT/dr, obtemos a expressão do fluxo radial:
q_{r}(r)=\frac{1}{r}\int_{0}^{r} s\,\dot{q}(s)\,ds.
Agora substituímos \dot{q}(s)=\dot{q}_{1}\left[1-(s/r_{E})^{2}\right] e calculamos a integral:
\int_{0}^{r} s\,\dot{q}(s)\,ds = \dot{q}_{1}\int_{0}^{r} s\left[1-\frac{s^{2}}{r_{E}^{2}}\right]ds =\dot{q}_{1}\left(\frac{1}{2}r^{2}-\frac{1}{4}\frac{r^{4}}{r_{E}^{2}}\right).
Logo
q_{r}(r)=\dot{q}_{1}\left(\frac{1}{2}r-\frac{1}{4}\frac{r^{3}}{r_{E}^{2}}\right).

Passo 4

Usamos a condição na superfície: o fluxo radial em r_{E} é o dado q''_{s}:
q_{r}(r_{E})=q''_{s}=\dot{q}_{1}\left(\frac{1}{2}r_{E}-\frac{1}{4}\frac{r_{E}^{3}}{r_{E}^{2}}\right) =\dot{q}_{1}\left(\frac{1}{2}r_{E}-\frac{1}{4}r_{E}\right) =\dot{q}_{1}\frac{1}{4}r_{E}.
Portanto podemos obter \dot{q}_{1} a partir de q''_{s}:
\dot{q}_{1}=\frac{4\,q''_{s}}{r_{E}}.

Passo 5

Agora calculamos a queda de temperatura entre o centro e a superfície. Como \dfrac{dT}{dr}=-\dfrac{q_{r}(r)}{k},
T(0)-T(r_{E})=\int_{0}^{r_{E}}\frac{q_{r}(r)}{k}\,dr.
Substituindo q_{r}(r)=\dot{q}_{1}\left(\dfrac{1}{2}r-\dfrac{1}{4}\dfrac{r^{3}}{r_{E}^{2}}\right):
T(0)-T(r_{E})=\frac{\dot{q}_{1}}{k}\int_{0}^{r_{E}}\left(\frac{1}{2}r-\frac{1}{4}\frac{r^{3}}{r_{E}^{2}}\right)dr.
Calcule as integrais:
\int_{0}^{r_{E}}\frac{1}{2}r\,dr=\frac{1}{4}r_{E}^{2},\qquad \int_{0}^{r_{E}}\frac{1}{4}\frac{r^{3}}{r_{E}^{2}}\,dr=\frac{1}{16}r_{E}^{2}.
Portanto
T(0)-T(r_{E})=\frac{\dot{q}_{1}}{k}\left(\frac{1}{4}r_{E}^{2}-\frac{1}{16}r_{E}^{2}\right) =\frac{\dot{q}_{1}}{k}\cdot\frac{3}{16}r_{E}^{2} =\frac{3\dot{q}_{1}r_{E}^{2}}{16k}.
Substituindo \dot{q}_{1}=\dfrac{4q''_{s}}{r_{E}} obtemos uma forma direta em termos do fluxo superficial:
\boxed{\,T(0)-T(r_{E})=\frac{3\,q''_{s}\,r_{E}}{4k}\,}.

Passo 6

Agora aplicamos os números:
r_{E}=0{,}0125\\ \mathrm{m},\quad q''_{s}=1{,}6\times10^{6}\\ \mathrm{W/m^{2}},\quad k=26\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
Calculemos:
T(0)-T(r_{E})=\frac{3\cdot(1{,}6\times10^{6})\cdot0{,}0125}{4\cdot26}.
Compute passo a passo:
1{,}6\times10^{6}\times0{,}0125=20000,
3\times20000=60000,
4\cdot26=104,
\Delta T=\frac{60000}{104}\approx576{,}923\\ \mathrm{K}.
Arredondando razoavelmente:
\Delta T\approx577\\ \mathrm{K}.

Resposta

577\\ \mathrm{K}

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