Uma adutora (
, por gravidade,
) atendia uma cidade com uma vazão de
. Contudo, devido ao tempo de uso e ao aumento da demanda, a adutora não consegue atender a nova vazão requerida (
). Prevendo utilizar parte desta adutora, quantos metros deveriam ser substituidos para que esta adutora consiga aduzir a nova demanda requerida? (Informar diâmetro do novo trecho)
Dados:
Dados:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
-
Dados fornecidos:
- Comprimento total da adutora:
. - Diâmetro inicial:
. - A adutora é por gravidade com cotas:
- Nível de água (montante) inicial:
. - Nível de água (jusante) final:
.
- Nível de água (montante) inicial:
- Coeficiente de Hazen–Williams da adutora existente:
. - Coeficiente do trecho novo (tubos novos):
. - Vazões:
- Vazão antiga (atendida):
. - Nova vazão requerida:
.
- Vazão antiga (atendida):
- Comprimento total da adutora:
-
O que o problema pede:
- Quantos metros devem ser substituídos (comprimento
) da adutora para que, combinando o trecho novo (com ) com o restante antigo (com ), a adutora consiga transportar . - Informar o diâmetro do novo trecho.
- Quantos metros devem ser substituídos (comprimento
-
Informação derivada do enunciado:
- Altura disponível (diferença de cotas) para vencer perdas:
- Altura disponível (diferença de cotas) para vencer perdas:
Observação: todas as contas hidráulicas de perda por atrito que vamos usar serão feitas com a fórmula de Hazen–Williams (adequada para água potável em condutas) em unidades SI.
Passo 2
Apresentar a fórmula que vamos usar (Hazen–Williams) e explicar cada termo.
A fórmula de Hazen–Williams, na forma para perda de carga total em um trecho retilíneo, é
onde
-
é a perda de carga (m), -
é o comprimento do trecho (m), -
é a vazão (m^3/s), -
é o coeficiente de Hazen–Williams (adimensional), -
é o diâmetro interno do tubo (m), - o fator
é constante para unidades SI nesta forma da equação.
Explicação didática curta:
-
mostra que a perda cresce mais que linear com a vazão (ou seja, aumentar vazão aumenta muito a perda). -
mostra que aumentar o diâmetro diminui muito a perda (forte sensibilidade). -
representa condição interna da tubulação (menor → maior rugosidade efetiva → maior perda).
Nosso sistema ficará dividido em dois trechos em série: trecho substituído (comprimento
, coeficiente
) e trecho remanescente antigo (comprimento
, coeficiente
). Como as perdas somam em série, a perda total será a soma das perdas em cada trecho.
Passo 3
Escrever a equação da perda total em função de
(comprimento a ser substituído).
Para a vazão desejada
e assumindo que o diâmetro do novo trecho é o mesmo da adutora (
) — vamos justificar e manter essa hipótese simples porque a adutora existente é DN 200 e o enunciado sugere usar parte da mesma adutora — a perda total é:
Devemos impor a condição de que essa perda total não exceda a altura disponível:
Agora iremos calcular os termos numéricos passo a passo.
Passo 4
Calcular constantes numéricas (expoentes e potências) com
e
.
- Primeiro a potência da vazão:
- Potência do diâmetro:
- Potências dos coeficientes
:
Explicando como fiz: usei logaritmos ou uma calculadora científica para as potências não inteiras; mostro o resultado arredondado (mantendo sinais significativos suficientes para engenharia).
Passo 5
Calcular o fator multiplicador geral e simplificar a equação para
.
O fator que multiplica a somatória de comprimentos é
Substituindo valores numéricos:
Portanto
Podemos dividir
pelas potências de
para obter coeficientes lineares em
:
Assim:
Expandindo:
Calcular o termo constante:
Juntando os termos em
:
Passo 6
Impor a condição
e resolver para
.
Isolando
:
Interpretação: é necessário substituir aproximadamente
da adutora antiga por tubos novos (com
), mantendo o diâmetro
, para permitir a adução de
com a altura disponível de
.
Passo 7
Verificação rápida (checagem numérica).
Calcular a perda total usando
na fórmula simplificada:
ou seja, casa com a altura disponível (diferença de cotas), verificando o cálculo.
Comentário prático e justificativa sobre o diâmetro pedido:
- Mantivemos o diâmetro do trecho novo igual ao da adutora existente (
), pois o enunciado informa a adutora como DN 200 e sugere reaproveitar parte dela. A substituição de por tubos novos com e mesmo diâmetro é suficiente. - Alternativamente, poderia-se reduzir o comprimento a substituir se fosse possível aumentar o diâmetro no trecho novo (porque perdas caem fortemente com
). Mas mudar diâmetro envolve adaptação, junções e projeto diferenciado — por isso a solução prática e direta era substituir por tubos novos com mesmo diâmetro.
Resposta
2535\ \mathrm{m}\ (aprox.)
D_{novo} = 200\ \mathrm{mm}
D_{novo} = 200\ \mathrm{mm}