Uma adutora ( \mathrm{F}^{\circ} \mathrm{F}^{\circ}, \mathrm{DN}=200 \mathrm{~mm}, por gravidade, \mathrm{L}=4.500 \mathrm{~m} ) atendia uma cidade com uma vazão de 20 \mathrm{~L} / \mathrm{s}. Contudo, devido ao tempo de uso e ao aumento da demanda, a adutora não consegue atender a nova vazão requerida ( 25 \mathrm{~L} / \mathrm{s} ). Prevendo utilizar parte desta adutora, quantos metros deveriam ser substituidos para que esta adutora consiga aduzir a nova demanda requerida? (Informar diâmetro do novo trecho)
Dados:
\begin{aligned} & \text { C da adutora existente }=90 \text { (ferro fundido tubos usados) } \\\ & \text { C do trecho novo }=130 \text { (ferro fundido tubos novo) } \\\ & \text { NA inicial }=85 \mathrm{~m} \\\ & \text { NA final }=62 \mathrm{~m} \end{aligned}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
  • Dados fornecidos:
    • Comprimento total da adutora: L=4500\\ \mathrm{m}.
    • Diâmetro inicial: \mathrm{DN}=200\\ \mathrm{mm}=0{,}200\\ \mathrm{m}.
    • A adutora é por gravidade com cotas:
      • Nível de água (montante) inicial: \mathrm{NA_{mont}}=85\\ \mathrm{m}.
      • Nível de água (jusante) final: \mathrm{NA_{jus}}=62\\ \mathrm{m}.
    • Coeficiente de Hazen–Williams da adutora existente: C_{\text{ant}}=90.
    • Coeficiente do trecho novo (tubos novos): C_{\text{novo}}=130.
    • Vazões:
      • Vazão antiga (atendida): Q_{\text{ant}}=20\\ \mathrm{L/s}=0{,}020\\ \mathrm{m^3/s}.
      • Nova vazão requerida: Q_{\text{req}}=25\\ \mathrm{L/s}=0{,}025\\ \mathrm{m^3/s}.
  • O que o problema pede:
    1. Quantos metros devem ser substituídos (comprimento x) da adutora para que, combinando o trecho novo (com C=130) com o restante antigo (com C=90), a adutora consiga transportar Q_{\text{req}}=0{,}025\\ \mathrm{m^3/s}.
    2. Informar o diâmetro do novo trecho.
  • Informação derivada do enunciado:
    • Altura disponível (diferença de cotas) para vencer perdas: H_{\text{disp}}=\mathrm{NA_{mont}}-\mathrm{NA_{jus}}=85-62=23\\ \mathrm{m}.
Observação: todas as contas hidráulicas de perda por atrito que vamos usar serão feitas com a fórmula de Hazen–Williams (adequada para água potável em condutas) em unidades SI.

Passo 2

Apresentar a fórmula que vamos usar (Hazen–Williams) e explicar cada termo.
A fórmula de Hazen–Williams, na forma para perda de carga total em um trecho retilíneo, é
h_f = 10{,}67\; \frac{L\; Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\; D^{4{,}87}},
onde
  • h_f é a perda de carga (m),
  • L é o comprimento do trecho (m),
  • Q é a vazão (m^3/s),
  • C é o coeficiente de Hazen–Williams (adimensional),
  • D é o diâmetro interno do tubo (m),
  • o fator 10{,}67 é constante para unidades SI nesta forma da equação.
Explicação didática curta:
  • Q^{1{,}852} mostra que a perda cresce mais que linear com a vazão (ou seja, aumentar vazão aumenta muito a perda).
  • D^{4{,}87} mostra que aumentar o diâmetro diminui muito a perda (forte sensibilidade).
  • C representa condição interna da tubulação (menor C → maior rugosidade efetiva → maior perda).
Nosso sistema ficará dividido em dois trechos em série: trecho substituído (comprimento x, coeficiente C_{\text{novo}}) e trecho remanescente antigo (comprimento L-x, coeficiente C_{\text{ant}}). Como as perdas somam em série, a perda total será a soma das perdas em cada trecho.

Passo 3

Escrever a equação da perda total em função de x (comprimento a ser substituído).
Para a vazão desejada Q_{\text{req}}=0{,}025\\ \mathrm{m^3/s} e assumindo que o diâmetro do novo trecho é o mesmo da adutora ( D=0{,}200\\ \mathrm{m}) — vamos justificar e manter essa hipótese simples porque a adutora existente é DN 200 e o enunciado sugere usar parte da mesma adutora — a perda total é:
h_{\text{tot}} = 10{,}67\; \frac{Q^{1{,}852}}{D^{4{,}87}}\left(\frac{L-x}{C_{\text{ant}}^{1{,}852}}+\frac{x}{C_{\text{novo}}^{1{,}852}}\right).
Devemos impor a condição de que essa perda total não exceda a altura disponível:
h_{\text{tot}} = H_{\text{disp}} = 23\\ \mathrm{m}.
Agora iremos calcular os termos numéricos passo a passo.

Passo 4

Calcular constantes numéricas (expoentes e potências) com Q=0{,}025\\ \mathrm{m^3/s} e D=0{,}200\\ \mathrm{m}.
  • Primeiro a potência da vazão:
Q^{1{,}852} = (0{,}025)^{1{,}852} \approx 0{,}001074\quad(\text{m}^{3{,}1{,}852}\,\text{s}^{-1{,}852}).
  • Potência do diâmetro:
D^{4{,}87} = (0{,}200)^{4{,}87} \approx 0{,}000390.
  • Potências dos coeficientes C:
C_{\text{ant}}^{1{,}852} = 90^{1{,}852} \approx 4150,
C_{\text{novo}}^{1{,}852} = 130^{1{,}852} \approx 8208.
Explicando como fiz: usei logaritmos ou uma calculadora científica para as potências não inteiras; mostro o resultado arredondado (mantendo sinais significativos suficientes para engenharia).

Passo 5

Calcular o fator multiplicador geral e simplificar a equação para x.
O fator que multiplica a somatória de comprimentos é
K = 10{,}67\; \frac{Q^{1{,}852}}{D^{4{,}87}}.
Substituindo valores numéricos:
K = 10{,}67\; \frac{0{,}001074}{0{,}000390} \approx 29{,}39\\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{m}}.
Portanto
h_{\text{tot}} = 29{,}39\left(\frac{4500-x}{4150} + \frac{x}{8208}\right).
Podemos dividir 29{,}39 pelas potências de C para obter coeficientes lineares em x:
\frac{29{,}39}{4150} \approx 0{,}007086,\qquad \frac{29{,}39}{8208} \approx 0{,}003579.
Assim:
h_{\text{tot}} = 0{,}007086\,(4500-x) + 0{,}003579\,x.
Expandindo:
h_{\text{tot}} = 0{,}007086\cdot 4500 - 0{,}007086\,x + 0{,}003579\,x.
Calcular o termo constante:
0{,}007086\cdot 4500 \approx 31{,}89.
Juntando os termos em x:
h_{\text{tot}} = 31{,}89 - (0{,}007086-0{,}003579)\,x = 31{,}89 - 0{,}003507\,x.

Passo 6

Impor a condição h_{\text{tot}}=H_{\text{disp}}=23\\ \mathrm{m} e resolver para x.
31{,}89 - 0{,}003507\,x = 23.
Isolando x:
0{,}003507\,x = 31{,}89 - 23 = 8{,}89,
x = \frac{8{,}89}{0{,}003507} \approx 2535\\ \mathrm{m}.
Interpretação: é necessário substituir aproximadamente 2535\\ \mathrm{m} da adutora antiga por tubos novos (com C=130), mantendo o diâmetro D=0{,}200\\ \mathrm{m}, para permitir a adução de 25\\ \mathrm{L/s} com a altura disponível de 23\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Verificação rápida (checagem numérica).
Calcular a perda total usando x=2535\\ \mathrm{m} na fórmula simplificada:
h_{\text{tot}} \approx 31{,}89 - 0{,}003507\cdot 2535 \approx 31{,}89 - 8{,}893 \approx 22{,}997\\ \mathrm{m}\approx 23\\ \mathrm{m},
ou seja, casa com a altura disponível (diferença de cotas), verificando o cálculo.
Comentário prático e justificativa sobre o diâmetro pedido:
  • Mantivemos o diâmetro do trecho novo igual ao da adutora existente ( D=200\\ \mathrm{mm}), pois o enunciado informa a adutora como DN 200 e sugere reaproveitar parte dela. A substituição de 2535\\ \mathrm{m} por tubos novos com C=130 e mesmo diâmetro é suficiente.
  • Alternativamente, poderia-se reduzir o comprimento a substituir se fosse possível aumentar o diâmetro no trecho novo (porque perdas caem fortemente com D^{4{,}87}). Mas mudar diâmetro envolve adaptação, junções e projeto diferenciado — por isso a solução prática e direta era substituir por tubos novos com mesmo diâmetro.

Resposta

2535\ \mathrm{m}\ (aprox.)
D_{novo} = 200\ \mathrm{mm}

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