5.24 A velocidade da superfície livre da água infiltrada no porão de um edifício é igual a 25,4 \mathrm{~mm} por hora. A área do chão do porão é 139,4 \mathrm{~m}^{2}. Qual deve ser a capacidade da bomba para que (a) o nível da água no porão se mantenha constante e (b) reduzir o nível da água no porăo com uma velocidade de 76,2 \mathrm{~mm} por hora (admita que a vazz̃o dc água infiltrada é a mesma do item anterior).

Passo 1

O enunciado dá a velocidade com que o nível da água sobe por infiltração e a área do piso do porão, e pede a capacidade da bomba necessária em dois casos. Informações fornecidas (tudo extraído do enunciado):
  • velocidade de subida por infiltração: \,25{,}4\\ \mathrm{mm/h}.
  • área do piso do porão: \,139{,}4\\ \mathrm{m^2}.
    O enunciado pede:
    (a) capacidade da bomba para que o nível se mantenha constante (ou seja, a bomba deve remover exatamente o volume que entra por infiltração);
    (b) capacidade da bomba para que o nível seja reduzido com velocidade de \,76{,}2\\ \mathrm{mm/h} (assumindo que a vazão infiltrada permanece a mesma do item anterior).

Passo 2

Ideia física e fórmula que vamos usar:
  • Quando o nível sobe (ou desce) com uma velocidade vertical \,v sobre uma área \,A, o volume correspondente por unidade de tempo (vazão volumétrica) é dado por
Q = A \cdot v,
onde
Q é a vazão volumétrica (unidades de volume por tempo, por exemplo \mathrm{m^3/h}),
A é a área (por exemplo \mathrm{m^2}),
v é a velocidade vertical (por exemplo \mathrm{m/h}).
  • Observação sobre sinais: se quer manter o nível constante, a vazão da bomba deve igualar a vazão de entrada por infiltração. Se quer reduzir o nível com velocidade \,v_{\text{dec}}, a vazão da bomba deve remover a vazão de infiltração mais a vazão correspondente à redução desejada; em termos numéricos, a bomba deve remover água correspondente a (v_{\text{infiltração}} + v_{\text{dec}})çã multiplicado por A.

Passo 3

Converter unidades (sempre converter \mathrm{mm} para \mathrm{m} para usar \mathrm{m^2} em área):
  • \,25{,}4\\ \mathrm{mm/h} = 0{,}0254\\ \mathrm{m/h}.
  • \,76{,}2\\ \mathrm{mm/h} = 0{,}0762\\ \mathrm{m/h}.
    A área é \,139{,}4\\ \mathrm{m^2} (já em metros quadrados).
Calcular a vazão de infiltração (volume que entra por hora):
Q_{\text{in}} = A \cdot v_{\text{in}} = 139{,}4 \cdot 0{,}0254\\ \mathrm{m^3/h}.
Faço a multiplicação passo a passo:
139{,}4 \times 0{,}0254 = \frac{139{,}4 \times 25{,}4}{1000}.
Calculo intermediário:
139{,}4 \times 25{,}4 = 139{,}4 \times (25 + 0{,}4)=139{,}4\times25 + 139{,}4\times0{,}4 = 3485 + 55{,}76 = 3540{,}76.
Portanto
Q_{\text{in}} = \frac{3540{,}76}{1000}\\ \mathrm{m^3/h} = 3{,}54076\\ \mathrm{m^3/h}.
Converter \,3{,}54076\\ \mathrm{m^3/h} para unidades mais usuais (opcional, mas útil em bombeamento):
  • em litros por hora: 1\\ \mathrm{m^3} = 1000\\ \mathrm{L}, então
Q_{\text{in}} = 3{,}54076\times1000 = 3540{,}76\\ \mathrm{L/h}.
  • em litros por minuto:
Q_{\text{in}} = \frac{3540{,}76}{60} = 59{,}012666\ldots\\ \mathrm{L/min}\approx 59{,}01\\ \mathrm{L/min}.
  • em litros por segundo:
Q_{\text{in}} = \frac{3540{,}76}{3600} = 0{,}983544\ldots\\ \mathrm{L/s}\approx 0{,}9835\\ \mathrm{L/s}.

Passo 4

Resposta do item (a):
  • Para manter o nível constante, a bomba deve remover exatamente a vazão de infiltração, isto é
Q_{\text{bomba,(a)}} = Q_{\text{in}} = 3{,}54076\\ \mathrm{m^3/h}.
Também é aceitável especificar essa capacidade como \,3540{,}76\\ \mathrm{L/h} ou \,59{,}01\\ \mathrm{L/min}.

Passo 5

Agora o item (b): queremos que o nível abaixe com velocidade \,76{,}2\\ \mathrm{mm/h} enquanto a infiltração continua. Como explicado no passo 2, a bomba precisa remover a água que entra mais a água correspondente à redução desejada. Logo a velocidade total de retirada (em altura por tempo) deve ser
v_{\text{retirada}} = v_{\text{in}} + v_{\text{dec}} = 0{,}0254 + 0{,}0762 = 0{,}1016\\ \mathrm{m/h}.
Calculando a vazão que a bomba deve ter:
Q_{\text{bomba,(b)}} = A \cdot v_{\text{retirada}} = 139{,}4 \times 0{,}1016\\ \mathrm{m^3/h}.
Multiplicação:
139{,}4 \times 0{,}1016 = \frac{139{,}4 \times 101{,}6}{1000}.
Intermediário:
139{,}4 \times 101{,}6 = 139{,}4\times(100 + 1{,}6)=13940 + 223{,}04 = 14163{,}04.
Portanto
Q_{\text{bomba,(b)}} = \frac{14163{,}04}{1000}\\ \mathrm{m^3/h} = 14{,}16304\\ \mathrm{m^3/h}.
Conversões úteis:
  • em litros por hora: 14{,}16304\times1000 = 14163{,}04\\ \mathrm{L/h}.
  • em litros por minuto:
\frac{14163{,}04}{60} = 236{,}050666\ldots\\ \mathrm{L/min}\approx 236{,}05\\ \mathrm{L/min}.
  • em litros por segundo:
\frac{14163{,}04}{3600} = 3{,}9341777\ldots\\ \mathrm{L/s}\approx 3{,}934\\ \mathrm{L/s}.

Passo 6

Resumo e dica prática: escolha a unidade de projeto da bomba que for mais conveniente (m^3/h é comum em engenharia civil; L/min também é muito usada). Se for especificar uma bomba comercial, arredonde para cima para garantir margem de segurança e perda por tubulação. Força e ânimo: você já tem a fórmula central ( Q=A\cdot v) e agora consegue transformar velocidades de nível em vazões de bomba — isso é exatamente o que costumam pedir em prova.

Resposta

(a) Q_{\text{bomba}} = 3{,}54076\\ \mathrm{m^3/h} (equivalente a 3540{,}76\\ \mathrm{L/h} ou \approx 59{,}01\\ \mathrm{L/min}).
(b) Q_{\text{bomba}} = 14{,}16304\\ \mathrm{m^3/h} (equivalente a 14163{,}04\\ \mathrm{L/h} ou \approx 236{,}05\\ \mathrm{L/min}).

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