Dimensionar uma grade (largura e número de barras) para captação de 100 \mathrm{~L} / \mathrm{s} em um ribeirão, utilizando caixa de tomada. O manancial apresenta regime de escoamento torrencial em periodos de chuva, com transporte de sólidos flutuantes de grandes dimensões. Sabe-se que as lâminas de água minima e máxima do ribeirão sobre a laje de fundo da caixa de tomada são, respectivamente, de 0,30 \mathrm{~m} e de 1,20 \mathrm{~m}. As barras deverão ter seção circular, com espessura de 3 / 8^{\prime \prime}, espaçamento de 10 cm e inclinação de 70^{\circ}.
Lembrete: a área das aberturas da grade deve ser igual ou superior a 1,7 \mathrm{~cm}^{2} por litro por minuto

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Dados do enunciado:
  • Vazão a captar: \,100\\ \mathrm{L/s}.
  • Lâmina mínima sobre a laje da caixa de tomada: \,0{,}30\\ \mathrm{m}.
  • Lâmina máxima sobre a laje: \,1{,}20\\ \mathrm{m}.
  • Barras com seção circular e espessura (diâmetro) de 3/8^{\prime\prime}.
  • Espaçamento entre barras (abertura livre) g = 10\\ \mathrm{cm}.
  • Inclinação da grade: 70^\circ (valor fornecido).
  • Lembrete/critério: a área das aberturas da grade deve ser igual ou superior a 1{,}7\\ \mathrm{cm}^2 por litro por minuto.
O que o enunciado pede:
  • Dimensionar a largura da grade (largura W necessária).
  • Determinar o número de barras (quantas barras serão colocadas).
Observação importante (decisão de projeto que vou usar automaticamente):
  • Para garantir que a captação funcione mesmo no pior caso (nível de água menor), vou dimensionar a grade usando a lâmina mínima \,H_{\min}=0{,}30\\ \mathrm{m}. Assim a grade terá área livre suficiente mesmo com pouca água.

Passo 2

Converter unidades e calcular a área mínima de aberturas exigida pelo critério.
  1. Converter a vazão \,Q para litros por minuto:
Q = 100\\ \mathrm{L/s} = 100 \times 60 = 6000\\ \mathrm{L/min}.
  1. Critério dado: 1{,}7\\ \mathrm{cm}^2 de abertura por 1\\ \mathrm{L/min}. Assim a área livre mínima total exigida é
A_{\text{livre,req}} = 1{,}7\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{(L/min)} \times 6000\\ \mathrm{L/min} = 10200\\ \mathrm{cm}^2.
Converter para metros quadrados:
10200\\ \mathrm{cm}^2 = 10200\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}^2 = 1{,}02\\ \mathrm{m}^2.
Portanto precisamos de, no mínimo,
A_{\text{livre,req}} = 1{,}02\\ \mathrm{m}^2.

Passo 3

Relacionar a geometria da grade com a área livre. Explicação didática do raciocínio geométrico (sem pular etapas).
Definições e conversões:
  • Espaçamento livre entre barras (abertura): g = 10\\ \mathrm{cm} = 0{,}10\\ \mathrm{m}.
  • Espessura (diâmetro) das barras: d = 3/8^{\prime\prime}. Converter polegadas para metros:
1^{\prime\prime}=25{,}4\\ \mathrm{mm}\Rightarrow d=0{,}375\times 25{,}4\\ \mathrm{mm}=9{,}525\\ \mathrm{mm}=0{,}009525\\ \mathrm{m}.
  • Pitch (passo total entre centros de barras) = p = g + d = 0{,}10 + 0{,}009525 = 0{,}109525\\ \mathrm{m}.
Raciocínio sobre área livre:
  • Considere a projeção vertical (plano perpendicular à direção do escoamento ribeirinho) da área da grade submersa: essa projeção tem área igual a largura horizontal da grade W vezes a lâmina de água vertical H (a projeção da área útil vista pelo escoamento horizontal é W\cdot H).
  • Num arranjo periódico de barras paralelas, a fração desta área que é aberta (livre) é a razão entre a abertura livre e o passo total, ou seja \dfrac{g}{p}=\dfrac{g}{g+d}. Essa razão é independente da inclinação da grade quando a área considerada é a projeção vertical (explico: a inclinação alonga as barras mas a projeção vertical dos espaços entre barras permanece proporcional a g/p; geometricamente, os fatores dependentes da inclinação se cancelam).
  • Logo a área livre projetada (a realmente útil para o fluxo horizontal) é
A_{\text{livre}} = \frac{g}{g+d}\cdot W\cdot H.
Variáveis:
  • \,W é a largura da grade (o que queremos achar).
  • \,H é a lâmina de água relevante: como projetamos para o pior caso usamos H=H_{\min}=0{,}30\\ \mathrm{m}.
  • \,g/(g+d) é a fração de área aberta por unidade de área projetada.
Portanto a condição de projeto é
A_{\text{livre}} = \frac{g}{g+d}\,W\,H \ge A_{\text{livre,req}}.

Passo 4

Isolar W e calcular numericamente a largura necessária.
Escrevendo a equação para W:
W \ge \frac{A_{\text{livre,req}}}{\dfrac{g}{g+d}\;H}.
Substituir valores (tudo em metros):
g=0{,}10\\ \mathrm{m},\quad d=0{,}009525\\ \mathrm{m},\quad H=0{,}30\\ \mathrm{m},
\frac{g}{g+d}=\frac{0{,}10}{0{,}109525}=0{,}912985\\ (\text{aprox.}).
Calcular denominador:
\frac{g}{g+d}\cdot H = 0{,}912985\times 0{,}30 = 0{,}2738955\\ \mathrm{m}.
Portanto
W \ge \frac{1{,}02}{0{,}2738955} \approx 3{,}7259\\ \mathrm{m}.
Arredondando para um valor prático, podemos tomar
W \approx 3{,}73\\ \mathrm{m}.
Comentário prático: o resultado indica que a largura livre da grade deve ser cerca de 3{,}73\\ \mathrm{m} para garantir a área livre mínima quando a lâmina está na condição mínima de 0{,}30\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Calcular o número de barras necessárias (explicando a conta e como arredondar).
Geometria para contar barras em função da largura:
  • O passo total entre centros de barras (medido perpendicular às barras) é p = g + d = 0{,}109525\\ \mathrm{m}.
  • Ao projetar sobre a aresta superior (linha horizontal de comprimento W), a distância horizontal entre as interseções consecutivas das barras com essa aresta é igual a p/\sin\alpha, onde \alpha é a inclinação da grade medida em relação à horizontal. (Derivação curta: linhas paralelas com separação p perpendicularmente, quando cortadas por uma linha horizontal, geram interseções espaçadas de p/\sin\alpha.)
  • Assim o número de vãos (aberturas) que cabem ao longo da largura W é aproximadamente
N_{\text{vãos}} \approx \frac{W}{p/\sin\alpha} = \frac{W\,\sin\alpha}{p}.ã
Substituir valores:
\alpha = 70^\circ,\quad \sin 70^\circ \approx 0{,}9396926,
W\approx 3{,}7259\\ \mathrm{m},\quad p=0{,}109525\\ \mathrm{m}.
N_{\text{vãos}} \approx \frac{3{,}7259\times 0{,}9396926}{0{,}109525}\approx 31{,}95.ã
Interpretação e arredondamento:
  • N_{\text{vãos}}ã é o número de espaços livres entre barras. Esse número deve ser um inteiro; para não reduzir a área livre (ou seja, para não ficar com menos aberturas do que a necessária), arredondamos para cima:
N_{\text{vãos}} = 32.ã
  • O número de barras será o número de vãos mais 1 (uma barra em cada extremidade do conjunto):
N_{\text{barras}} = N_{\text{vãos}} + 1 = 33.ã
Verificação rápida (compatibilidade entre W e N_{\text{vãos}}ã):
  • Distância horizontal entre interseções com a aresta superior: p/\sin\alpha = 0{,}109525 / 0{,}9396926 \approx 0{,}11663\\ \mathrm{m}.
  • Largura ocupada por 32 vãos em termos desta distância: 32\times 0{,}11663 \approx 3{,}7322\\ \mathrm{m}, compatível com W\approx 3{,}73\\ \mathrm{m}. Bom.
Observação prática final:
  • Em obra normalmente escolhe-se uma largura comercial arredondada (por exemplo 3{,}74\\ \mathrm{m} ou 3{,}80\\ \mathrm{m}) e/ou um número ligeiramente maior de barras para facilitar montagem e manutenção; mas o cálculo acima dá a dimensão mínima necessária para atender o critério de área livre com H_{\min}=0{,}30\\ \mathrm{m}.

Resposta

Largura mínima da grade: W \approx 3{,}73\\ \mathrm{m}
Número de barras (aproximado): 33

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