Adutoras:
3) Uma adutora opera durante 16 horas por dia, transportando uma vazão de bombeamento de
. Determine o diâmetro econômico da adutora utilizando a fórmula de Bresse.
3) Uma adutora opera durante 16 horas por dia, transportando uma vazão de bombeamento de
Passo 1
O enunciado dá claramente os seguintes dados:
- Vazão de bombeamento:
- A adutora opera
horas por dia (vou chamar isso de ).
O que o problema pede: determinar o diâmetro econômico da adutora usando a fórmula de Bresse.
Passo 2
Entendendo o que é o “diâmetro econômico” e por que existe uma fórmula:
- Ideia física e econômica por trás do problema: um tubo mais largo custa mais (maior custo de material/instalação), mas causa menos perda de carga e, portanto, menos custo de energia para bombear. O diâmetro econômico é o que minimiza o custo total (custo do tubo + custo de energia) ao longo da vida/funcionamento.
- Matemática básica por trás (resumo didático):
- A perda de carga por fricção em tubos (pela forma da equação de Darcy–Weisbach, quando se trata de dependência em
e ) segue uma forma proporcional a
isto é, mantendo outras coisas constantes, se aumenta a perda de carga cai muito rápido (potência negativa forte de ). - O custo de energia anual (por unidade de comprimento) é proporcional à energia gasta para vencer essa perda de carga:
. Com a relação acima isso dá um termo proporcional a . - O custo do tubo por unidade de comprimento é modelado (na hipótese clássica de Bresse) como proporcional a uma potência de
. Bresse adotou, como hipótese prática para tubos metálicos, que o custo cresce fortemente com o diâmetro (modelo tradicional assume proporcionalidade a — isto reflete área/espessura e outros fatores construtivos). - Somando os dois termos (custo do tubo e custo de energia) chega-se a uma função do custo anual por unidade de comprimento do tipo
onde e são constantes que reúnem preços unitários, coeficientes hidrodinâmicos, rendimento de bombas, fator de conversão de unidades, etc. - A perda de carga por fricção em tubos (pela forma da equação de Darcy–Weisbach, quando se trata de dependência em
- Para achar o diâmetro
que minimiza derivamos e igualamos a zero: Resolvendo para obtém-se, de forma algébrica simples, Esta expressão mostra a forma geral: e quando se adotam as hipóteses acima. As constantes dependem de preços, rendimento de bomba etc.
Passo 3
Da teoria à fórmula prática de Bresse usada em engenharia:
- Na prática, Bresse e a tradição técnica combinam as constantes
e fatores de conversão num único coeficiente empírico, obtido para condições econômicas e técnicas usuais (preço da energia, custo do tubo, eficiência típica de bombas, transformação de horas por dia para operação anual, uso de fórmulas empíricas de perda de carga etc.). O resultado prático largamente utilizado em cursos e provas é a fórmula empírica conhecida como “fórmula de Bresse” no formato conveniente: onde: -
está em metros, -
em , -
é o número de horas de operação por dia.
-
- Observação didática curta: por que aparece
aqui em vez de da dedução simples? Isso vem da combinação dos fatores de conversão (por exemplo multiplicar por dias/ano), opções de fórmulas empíricas para perda de carga (Hazen–Williams em vez de forma simplificada), e da consolidação numérica das constantes econômicas usadas por Bresse/usuários. Em essência, a expressão final é uma forma prática já com todos os fatores numéricos reunidos — por isso é muito usada para cálculo rápido em prova e obra.
Passo 4
Aplicando a fórmula prática de Bresse com os dados do enunciado:
- Substituir
e na fórmula - Calcular passo a passo as potências:
- Multiplicar:
- Arredondando para uma expressão prática: