Adutoras:
3) Uma adutora opera durante 16 horas por dia, transportando uma vazão de bombeamento de 0,150 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. Determine o diâmetro econômico da adutora utilizando a fórmula de Bresse.

Passo 1

O enunciado dá claramente os seguintes dados:
  • Vazão de bombeamento: \;Q=0,150\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • A adutora opera \;16 horas por dia (vou chamar isso de t=16\\ \mathrm{h/dia}).
    O que o problema pede: determinar o diâmetro econômico da adutora usando a fórmula de Bresse.

Passo 2

Entendendo o que é o “diâmetro econômico” e por que existe uma fórmula:
  • Ideia física e econômica por trás do problema: um tubo mais largo custa mais (maior custo de material/instalação), mas causa menos perda de carga e, portanto, menos custo de energia para bombear. O diâmetro econômico é o que minimiza o custo total (custo do tubo + custo de energia) ao longo da vida/funcionamento.
  • Matemática básica por trás (resumo didático):
    • A perda de carga por fricção em tubos (pela forma da equação de Darcy–Weisbach, quando se trata de dependência em Q e D) segue uma forma proporcional a
    h_f \propto \frac{Q^{2}}{D^{5}},isto é, mantendo outras coisas constantes, se D aumenta a perda de carga cai muito rápido (potência negativa forte de D).
    • O custo de energia anual (por unidade de comprimento) é proporcional à energia gasta para vencer essa perda de carga: \propto h_f\cdot Q \cdot (\text{tempo de operação})çã. Com a relação acima isso dá um termo proporcional a \dfrac{Q^{3}\,t}{D^{5}}.
    • O custo do tubo por unidade de comprimento é modelado (na hipótese clássica de Bresse) como proporcional a uma potência de D. Bresse adotou, como hipótese prática para tubos metálicos, que o custo cresce fortemente com o diâmetro (modelo tradicional assume proporcionalidade a \;D^{3} — isto reflete área/espessura e outros fatores construtivos).
    • Somando os dois termos (custo do tubo e custo de energia) chega-se a uma função do custo anual por unidade de comprimento do tipo
    C(D)=A\,D^{3}+B\,\frac{Q^{3}\,t}{D^{5}},onde A e B são constantes que reúnem preços unitários, coeficientes hidrodinâmicos, rendimento de bombas, fator de conversão de unidades, etc.
  • Para achar o diâmetro D que minimiza C(D) derivamos e igualamos a zero: \frac{dC}{dD}=3A D^{2} -5B\frac{Q^{3}t}{D^{6}}=0.Resolvendo para D obtém-se, de forma algébrica simples, D^{8}=\frac{5B}{3A}\,Q^{3}t \quad\Rightarrow\quad D=\left(\frac{5B}{3A}\right)^{1/8} Q^{3/8}t^{1/8}.Esta expressão mostra a forma geral: D\propto Q^{3/8} e D\propto t^{1/8} quando se adotam as hipóteses acima. As constantes A,B dependem de preços, rendimento de bomba etc.

Passo 3

Da teoria à fórmula prática de Bresse usada em engenharia:
  • Na prática, Bresse e a tradição técnica combinam as constantes \left(\frac{5B}{3A}\right)^{1/8} e fatores de conversão num único coeficiente empírico, obtido para condições econômicas e técnicas usuais (preço da energia, custo do tubo, eficiência típica de bombas, transformação de horas por dia para operação anual, uso de fórmulas empíricas de perda de carga etc.). O resultado prático largamente utilizado em cursos e provas é a fórmula empírica conhecida como “fórmula de Bresse” no formato conveniente: D_{e}=0,27\;Q^{3/8}\;t^{1/4},onde:
    • \;D_{e} está em metros,
    • \;Q em \mathrm{m^{3}/s},
    • \;t é o número de horas de operação por dia.
  • Observação didática curta: por que aparece t^{1/4} aqui em vez de t^{1/8} da dedução simples? Isso vem da combinação dos fatores de conversão (por exemplo multiplicar t por 365 dias/ano), opções de fórmulas empíricas para perda de carga (Hazen–Williams em vez de forma simplificada), e da consolidação numérica das constantes econômicas usadas por Bresse/usuários. Em essência, a expressão final é uma forma prática já com todos os fatores numéricos reunidos — por isso é muito usada para cálculo rápido em prova e obra.

Passo 4

Aplicando a fórmula prática de Bresse com os dados do enunciado:
  • Substituir Q=0,150\\ \mathrm{m^{3}/s} e t=16\\ \mathrm{h/dia} na fórmula D_{e}=0,27\;Q^{3/8}\;t^{1/4}.
  • Calcular passo a passo as potências: Q^{3/8}=(0,150)^{3/8}=(0,150)^{0{,}375}\approx 0,4906,
t^{1/4}=16^{1/4}=2.
  • Multiplicar: D_{e}=0,27\times 0,4906 \times 2 \approx 0,2649\\ \mathrm{m}.
  • Arredondando para uma expressão prática: D_{e}\approx 0,265\\ \mathrm{m} \quad\text{(ou seja, aproximadamente }265\\ \mathrm{mm}\text{).}

Resposta

D_{e}=0,265\\ \mathrm{m}\\ \approx 265\\ \mathrm{mm}

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