Reservatórios:
2) Um medidor de vazão instalado na saída do reservatório de distribuição de água de uma cidade registrou as vazões apresentadas na tabela abaixo, durante um período de 24 horas sucessivas.
Pede-se:
a) Determinar a vazão média de adução.
b) Elaborar o gráfico da curva de demanda e determinar o volume útil do reservatório.
Hora
Vazão (\ell / \mathbf{s})
Hora
Vazão (\ell / \mathbf{s})
1
50
13
280
2
60
14
270
3
70
15
250
4
80
16
240
5
90
17
220
6
120
18
210
7
150
19
200
8
200
20
150
9
300
21
120
10
400
22
90
11
350
23
70
12
300
24
60
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) Determinar a vazão média de adução.
(b) Elaborar o gráfico da curva de demanda (vazão versus hora) e determinar o volume útil do reservatório.
Informações fornecidas (peguei os valores da tabela do enunciado):
Horas 1 a 24 com as vazões Q_i em \ell/\mathrm{s}:
Arredondando convenientemente para duas casas decimais:
\overline{Q}\approx 180{,}42\\ \ell/\mathrm{s}.
Passo 3
Explicando como se obtém o volume útil do reservatório (método da curva de massas), passo a passo e didático:
Ideia física: suponha que a adução forneça uma vazão constante igual à vazão média \overline{Q}. O reservatório tem que “guardar” o excesso quando a demanda é menor que \overline{Q} e “liberar” quando a demanda excede \overline{Q}. Para dimensionar o volume necessário, integra-se a diferença \overline{Q}-Q(t) ao longo do tempo: quando essa diferença é positiva há acúmulo; quando negativa há consumo do armazenamento.
Formulação discreta (hora a hora): para a i-ésima hora, a variação de volume no reservatório (em litros) é
\Delta S_i=(\overline{Q}-Q_i)\Delta t,
onde \Delta t é o intervalo de tempo em segundos. Como os dados são por hora, \Delta t=3600\\ \mathrm{s}.
A partir daí define-se a soma acumulada (curva de massas):
com S_0=0. O valor mínimo de S_k (mais negativo) representa o maior déficit acumulado — esse módulo é o volume que precisa estar disponível no reservatório para que o sistema nunca fique sem água durante o período. Em outras palavras, o volume útil requerido é
Observação sobre unidades: usamos \ell/\mathrm{s} para vazões e multiplicamos por 3600\\ \mathrm{s} para obter litros por hora; ao final convertimos para \mathrm{m}^3 sabendo que 1\\ \mathrm{m}^3=1000\\ \ell.
Passo 4
Cálculo prático da curva de massas e identificação do mínimo acumulado (vou mostrar os resultados hora a hora, com as contas essenciais; todos os números de vazão e a média foram pegados da tabela):
Usando \overline{Q}=180{,}416\overline{6}\\ \ell/\mathrm{s} e \Delta t=3600\\ \mathrm{s}.
Para cada hora i calculei (\overline{Q}-Q_i)\cdot3600 (variação em \ell) e somei acumulando S_k. Os resultados (em litros) foram:
Como elaborar o gráfico da curva de demanda (instruções práticas e o que plotar):
Para a curva de demanda horária simplesmente plote no eixo horizontal as horas 1 a 24 e no eixo vertical a vazão Q_i em \ell/\mathrm{s}. Ligue os pontos na ordem temporal — isso dá a série temporal da demanda durante o dia.
Para a curva de massas (que é a ferramenta que usei para achar o volume útil) plote no eixo horizontal as horas 0 a 24 e no eixo vertical o S_k em litros (ou em \mathrm{m}^3 dividindo por 1000). A ordenada mínima da curva de massas (abscissa onde ocorre o mínimo) mostra o pico de déficit; o módulo dessa ordenada mínima é o volume útil requerido. Ao fim das 24 horas a curva retorna a zero (pois a média foi usada como adução).
Dica prática: ao desenhar no papel ou Excel, use \ell/\mathrm{s} para a curva de demanda e \mathrm{m}^3 para a curva de massas (divida os S_k por 1000 para obter \mathrm{m}^3). Marque o ponto de mínimo da curva de massas — a distância vertical entre esse mínimo e a linha S=0 é o volume útil.