Reservatórios:
2) Um medidor de vazão instalado na saída do reservatório de distribuição de água de uma cidade registrou as vazões apresentadas na tabela abaixo, durante um período de 24 horas sucessivas.

Pede-se:

a) Determinar a vazão média de adução.
b) Elaborar o gráfico da curva de demanda e determinar o volume útil do reservatório.
Hora Vazão (\ell / \mathbf{s}) Hora Vazão (\ell / \mathbf{s})
1 50 13 280
2 60 14 270
3 70 15 250
4 80 16 240
5 90 17 220
6 120 18 210
7 150 19 200
8 200 20 150
9 300 21 120
10 400 22 90
11 350 23 70
12 300 24 60

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Determinar a vazão média de adução.
  • (b) Elaborar o gráfico da curva de demanda (vazão versus hora) e determinar o volume útil do reservatório.
Informações fornecidas (peguei os valores da tabela do enunciado):
  • Horas 1 a 24 com as vazões Q_i em \ell/\mathrm{s}:
\begin{array}{l} Q_1=50,\; Q_2=60,\; Q_3=70,\; Q_4=80,\; Q_5=90,\; Q_6=120,\\\ Q_7=150,\; Q_8=200,\; Q_9=300,\; Q_{10}=400,\; Q_{11}=350,\; Q_{12}=300,\\\ Q_{13}=280,\; Q_{14}=270,\; Q_{15}=250,\; Q_{16}=240,\; Q_{17}=220,\; Q_{18}=210,\\\ Q_{19}=200,\; Q_{20}=150,\; Q_{21}=120,\; Q_{22}=90,\; Q_{23}=70,\; Q_{24}=60. \end{array}
Observação: os Q_i são valores horários expressos em \ell/\mathrm{s}. A tabela cobre um período contínuo de 24 horas.

Passo 2

Como calcular a vazão média de adução:
  • A fórmula da média aritmética (quando se tem valores horários igualmente espaçados) é
\overline{Q}=\frac{1}{24}\sum_{i=1}^{24} Q_i.
  • Primeiro somar todos os Q_i. Vou agrupar em duas metades para facilitar a conta:
\sum_{i=1}^{12}Q_i=50+60+70+80+90+120+150+200+300+400+350+300=2170,
\sum_{i=13}^{24}Q_i=280+270+250+240+220+210+200+150+120+90+70+60=2160.
Logo
\sum_{i=1}^{24}Q_i=2170+2160=4330.
  • Aplicando a fórmula:
\overline{Q}=\frac{4330}{24}=180{,}416\ldots\\ \ell/\mathrm{s}.
Arredondando convenientemente para duas casas decimais:
\overline{Q}\approx 180{,}42\\ \ell/\mathrm{s}.

Passo 3

Explicando como se obtém o volume útil do reservatório (método da curva de massas), passo a passo e didático:
  • Ideia física: suponha que a adução forneça uma vazão constante igual à vazão média \overline{Q}. O reservatório tem que “guardar” o excesso quando a demanda é menor que \overline{Q} e “liberar” quando a demanda excede \overline{Q}. Para dimensionar o volume necessário, integra-se a diferença \overline{Q}-Q(t) ao longo do tempo: quando essa diferença é positiva há acúmulo; quando negativa há consumo do armazenamento.
  • Formulação discreta (hora a hora): para a i-ésima hora, a variação de volume no reservatório (em litros) é
\Delta S_i=(\overline{Q}-Q_i)\Delta t,
onde \Delta t é o intervalo de tempo em segundos. Como os dados são por hora, \Delta t=3600\\ \mathrm{s}.
  • A partir daí define-se a soma acumulada (curva de massas):
S_k=\sum_{i=1}^{k}\Delta S_i=\sum_{i=1}^{k}(\overline{Q}-Q_i)\,3600,
com S_0=0. O valor mínimo de S_k (mais negativo) representa o maior déficit acumulado — esse módulo é o volume que precisa estar disponível no reservatório para que o sistema nunca fique sem água durante o período. Em outras palavras, o volume útil requerido é
V_{\text{útil}}=\max_k\bigl(-S_k\bigr)= -\min_k S_k.ú
  • Observação sobre unidades: usamos \ell/\mathrm{s} para vazões e multiplicamos por 3600\\ \mathrm{s} para obter litros por hora; ao final convertimos para \mathrm{m}^3 sabendo que 1\\ \mathrm{m}^3=1000\\ \ell.

Passo 4

Cálculo prático da curva de massas e identificação do mínimo acumulado (vou mostrar os resultados hora a hora, com as contas essenciais; todos os números de vazão e a média foram pegados da tabela):
  • Usando \overline{Q}=180{,}416\overline{6}\\ \ell/\mathrm{s} e \Delta t=3600\\ \mathrm{s}.
  • Para cada hora i calculei (\overline{Q}-Q_i)\cdot3600 (variação em \ell) e somei acumulando S_k. Os resultados (em litros) foram:
\begin{array}{ll} S_1=469500, & S_2=903000,\\\ S_3=1300500, & S_4=1662000,\\\ S_5=1987500, & S_6=2205000,\\\ S_7=2314500, & S_8=2244000,\\\ S_9=1813500, & S_{10}=1023000,\\\ S_{11}=412500, & S_{12}=-18000,\\\ S_{13}=-376500, & S_{14}=-699000,\\\ S_{15}=-949500, & S_{16}=-1164000,\\\ S_{17}=-1306500, & S_{18}=-1413000,\\\ S_{19}=-1483500, & S_{20}=-1374000,\\\ S_{21}=-1156500, & S_{22}=-831000,\\\ S_{23}=-433500, & S_{24}=0. \end{array}
  • Observação: ao final do período de 24 horas S_{24}=0 porque \overline{Q} foi calculada como a média; isso é uma boa verificação de consistência.
  • O valor mínimo acumulado (mais negativo) foi
\min_k S_k = S_{19} = -1\,483\,500\\ \ell.
  • Portanto o volume útil necessário (módulo desse mínimo) é
V_{\text{útil}}=1\,483\,500\\ \ell.ú
Convertendo para metros cúbicos:
V_{\text{útil}}= \frac{1\,483\,500}{1000}=1{,}4835\times10^{3}\\ \mathrm{m}^3 \approx 1483{,}5\\ \mathrm{m}^3.ú

Passo 5

Como elaborar o gráfico da curva de demanda (instruções práticas e o que plotar):
  • Para a curva de demanda horária simplesmente plote no eixo horizontal as horas 1 a 24 e no eixo vertical a vazão Q_i em \ell/\mathrm{s}. Ligue os pontos na ordem temporal — isso dá a série temporal da demanda durante o dia.
  • Para a curva de massas (que é a ferramenta que usei para achar o volume útil) plote no eixo horizontal as horas 0 a 24 e no eixo vertical o S_k em litros (ou em \mathrm{m}^3 dividindo por 1000). A ordenada mínima da curva de massas (abscissa onde ocorre o mínimo) mostra o pico de déficit; o módulo dessa ordenada mínima é o volume útil requerido. Ao fim das 24 horas a curva retorna a zero (pois a média foi usada como adução).
  • Dica prática: ao desenhar no papel ou Excel, use \ell/\mathrm{s} para a curva de demanda e \mathrm{m}^3 para a curva de massas (divida os S_k por 1000 para obter \mathrm{m}^3). Marque o ponto de mínimo da curva de massas — a distância vertical entre esse mínimo e a linha S=0 é o volume útil.

Resposta

\overline{Q}=180{,}42\\ \ell/\mathrm{s}
V_{\text{útil}}=1{,}483{,}5\\ \mathrm{m}^3ú

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