Se as adutoras da SABESP apresentam um vazamento por dia por 10 km de linha, qual a chance de se encontrar, em uma inspeção de um trecho qualquer de 5 km :
só um vazamento?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre vazamentos na rede de distribuição de água da SABESP. A gente sabe que, em média, tem 1 vazamento por dia a cada 10 km de tubulação. A pergunta é: qual é a chance de, em uma inspeção de um trecho qualquer de 5 km, encontrar só um vazamento? Para resolver isso, vamos usar um pouco de probabilidade, especificamente a Distribuição de Poisson, que é ótima para contar o número de eventos que acontecem em um intervalo fixo de espaço ou tempo.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a taxa média de vazamentos por quilômetro. Sabemos que são 1 vazamento a cada 10 km, então a taxa (λ) por km é:
lambda = 1 vazamento10 km = 0,1 vazamentos por km

Passo 3

Agora, queremos saber a taxa média para um trecho de 5 km. Basta multiplicar a taxa por km pelo comprimento do trecho:
lambda' = lambda times 5 km = 0,1 times 5 = 0,5 vazamentos
Isso significa que, em média, esperamos 0,5 vazamentos em 5 km.

Passo 4

Usamos a Distribuição de Poisson para calcular a probabilidade de ocorrer exatamente k eventos (no caso, vazamentos) em um intervalo fixo. A fórmula da Distribuição de Poisson é:
P(k) = lambda'^k times e^-lambda'k!
Onde:
  • $ P(k) $ é a probabilidade de k eventos ocorrerem
  • $ \lambda’ $ é a taxa média de eventos no intervalo
  • $ e $ é a base dos logaritmos naturais (aproximadamente 2,71828)
  • $ k! $ é o fatorial de k

Passo 5

Queremos a probabilidade de encontrar só um vazamento (k = 1):
P(1) = 0,5^1 times e^-0,51! = 0,5 times e^-0,5

Passo 6

Agora, vamos calcular isso:
e^-0,5 approx 0,6065
Então:
P(1) = 0,5 times 0,6065 approx 0,303

Resposta

A chance de encontrar só um vazamento em uma inspeção de 5 km é de aproximadamente 30,3%.

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