Uma aeronave tipo asa voadora tem uma área alar de 206 \mathrm{~m}^{2} e uma alongamento de 10 , perfil NAC 4412 e e =0,95. O avião pesa 7,5 \times 10^{5} \mathrm{~N} e está voando a 100 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e na altitude densidade de 3.000 m . Calcule o arrasto total da aeronave.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o arrasto total (força de arrasto D) da aeronave dadas as seguintes informações:
  • área alar S = 206\\ \mathrm{m}^{2},
  • alongamento (aspect ratio) \mathrm{AR} = 10,
  • perfil \mathrm{NACA}\\\ 4412 (logo t/c \approx 0{,}12),
  • eficiência aerodinâmica e = 0{,}95,
  • peso W = 7{,}5\times 10^{5}\\ \mathrm{N},
  • velocidade V = 100\\ \mathrm{m/s},
  • altitude de 3000\\ \mathrm{m} (devemos usar a densidade do ar correspondente).
Informações a serem obtidas/derivadas para resolver o problema:
  • densidade do ar \rho a 3000\\ \mathrm{m} (usar atmosfera padrão),
  • coeficiente de sustentação \,C_{L} (a partir do equilíbrio L=W),
  • coeficiente de arrasto total C_{D}=C_{D0}+C_{Di}, onde C_{D0} é o coeficiente de arrasto parasita (perfil + superfície) e C_{Di} é o arrasto induzido,
  • arrasto total D = \tfrac{1}{2}\rho V^{2} S C_{D}.
Não foi dada diretamente a resistência parasita C_{D0}, então farei uma estimativa justificando as hipóteses (cálculo de atrito de pele turbulento, fator de forma do aerofólio, área molhada aproximada para uma asa tipo “asa voadora”).

Passo 2

Calcular a densidade do ar \rho a 3000\\ \mathrm{m} usando a Atmosfera Padrão (ISA). Fórmulas e constantes úteis:
T(h)=T_{0}-Lh,\qquad p(h)=p_{0}\left(1-\frac{Lh}{T_{0}}\right)^{\frac{g}{R L}},\qquad \rho=\frac{p}{R T},
com T_{0}=288{,}15\\ \mathrm{K}, p_{0}=101325\\ \mathrm{Pa}, L=0{,}0065\\ \mathrm{K/m}, g=9{,}80665\\ \mathrm{m/s^{2}}, R=287{,}05\\ \mathrm{J/(kg\,K)}.
Aplicando para h=3000\\ \mathrm{m}:
T(3000)=288{,}15-0{,}0065\cdot 3000=268{,}65\\ \mathrm{K}.
p(3000)=101325\left(1-\frac{0{,}0065\cdot 3000}{288{,}15}\right)^{5{,}25588} =101325\cdot 0{,}93228^{5{,}25588}\approx 70121\\ \mathrm{Pa}.
\rho=\frac{70121}{287{,}05\cdot 268{,}65}\approx 0{,}9093\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Comentário curto: esse valor é o que usarei nas contas seguintes.

Passo 3

Calcular dimensões básicas da asa: envergadura b e corda média (corda aerodinâmica média aproximada) c. Relações:
\mathrm{AR}=\frac{b^{2}}{S}\quad\Rightarrow\quad b=\sqrt{\mathrm{AR}\,S},
\bar{c}=\frac{S}{b}=\sqrt{\frac{S}{\mathrm{AR}}}.
Aplicando números:
b=\sqrt{10\cdot 206}=\sqrt{2060}\approx 45{,}4\\ \mathrm{m},
\bar{c}=\sqrt{\frac{206}{10}}=\sqrt{20{,}6}\approx 4{,}538\\ \mathrm{m}.
Esses valores servem para estimar Reynolds e área molhada.

Passo 4

Encontrar o coeficiente de sustentação médio C_{L} que mantém o avião em voo nivelado (sustentação igual ao peso). A equação de sustentação:
L=\tfrac{1}{2}\rho V^{2} S C_{L},
para voo nivelado L=W. Logo:
C_{L}=\frac{2W}{\rho V^{2} S}.
Substituindo:
C_{L}=\frac{2\cdot 7{,}5\times 10^{5}}{0{,}9093\cdot 100^{2}\cdot 206} =\frac{1{,}5\times 10^{6}}{1{,}873{,}158}\approx 0{,}801.
Interpretação: em 100\\ \mathrm{m/s} e 3000\\ \mathrm{m} a aeronave voa com C_{L}\approx 0{,}80.

Passo 5

Calcular o arrasto induzido em termos de coeficientes. Fórmula padrão para coeficiente de arrasto induzido:
C_{Di}=\frac{C_{L}^{2}}{\pi\,\mathrm{AR}\,e}.
Substituindo:
C_{Di}=\frac{(0{,}801)^{2}}{\pi\cdot 10\cdot 0{,}95} =\frac{0{,}6416}{29{,}845}\approx 0{,}02149.
Esse é o componente do arrasto devido à produção de sustentação (vórtices de ponta, etc.).

Passo 6

Estimar o coeficiente de arrasto parasita C_{D0}. Explicarei o método com bastante calma (hipóteses explícitas):
  1. Usarei o método prático: estimar o coeficiente de atrito de pele C_{f} para a superfície (asa), aplicar um fator de forma (form factor) da seção e relacionar a área molhada S_{\text{wet}} com a área projetada S:
C_{D0}=C_{f}\cdot \text{FF}\cdot\frac{S_{\text{wet}}}{S}.
  1. Reynolds na corda média: \mathrm{Re}=\dfrac{\rho V \bar{c}}{\mu}. Preciso da viscosidade dinâmica \mu no ar a T=268{,}65\\ \mathrm{K}. Uso a fórmula de Sutherland com referência \mu_{0}=1{,}7894\times 10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s} a T_{0}=288{,}15\\ \mathrm{K} e constante S=110{,}4\\ \mathrm{K}:
\mu=\mu_{0}\left(\frac{T}{T_{0}}\right)^{3/2}\frac{T_{0}+S}{T+S}.
Calculando:
\mu\approx 1{,}7894\times 10^{-5}\cdot 0{,}9003\cdot 1{,}0516\approx 1{,}693\times 10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
Agora Reynolds:
\mathrm{Re}=\frac{0{,}9093\cdot 100\cdot 4{,}538}{1{,}693\times 10^{-5}}\approx 2{,}44\times 10^{7}.
  1. Coeficiente de atrito de pele C_{f} (para placa plana turbulenta suave, fórmula empírica):
C_{f}=\frac{0{,}455}{(\log_{10}\mathrm{Re})^{2{,}58}}.
Com \log_{10}\mathrm{Re}\approx 7{,}386 obtemos:
C_{f}\approx \frac{0{,}455}{7{,}386^{2{,}58}}\approx 0{,}00261.
  1. Fator de forma (form factor) da asa/ seção: para um aerofólio sem grande compressibilidade e sem supei-rotas especiais, uma fórmula prática (usada em projetos conceituais) é
\text{FF}\approx 1 + 2{,}7\frac{t}{c} + 100\left(\frac{t}{c}\right)^{4},
onde t/c é a razão de espessura. Para NACA 4412 temos t/c\approx 0{,}12, logo:
\text{FF}\approx 1+2{,}7\cdot 0{,}12 +100\cdot(0{,}12)^{4}\approx 1{,}345.
(Observação: existem outras fórmulas; esta é uma estimativa razoável para fins de exercício).
  1. Área molhada: para uma asa de geometria simples costuma-se aproximar S_{\text{wet}}\approx 2S (superfície superior + inferior). Em uma asa voadora sem fuselagem pronunciada é aceitável usar S_{\text{wet}}=2S.
  2. Finalmente:
C_{D0}=C_{f}\cdot \text{FF}\cdot\frac{S_{\text{wet}}}{S} =0{,}00261\cdot 1{,}345\cdot 2\approx 0{,}00702.
Interpretação: obtemos C_{D0}\approx 0{,}0070. Isso é consistente com uma asa limpa (sem grande fuselagem) — um avião convencional teria um C_{D0} maior por conta da fuselagem, trenó de trem, etc.

Passo 7

Somar os coeficientes para obter o coeficiente de arrasto total:
C_{D}=C_{D0}+C_{Di}=0{,}00702+0{,}02149\approx 0{,}02851.
Calcular a pressão dinâmica:
q=\tfrac{1}{2}\rho V^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot 0{,}9093\cdot 100^{2}=4546{,}5\\ \mathrm{Pa}.
Arrasto total:
D=q S C_{D}=4546{,}5\cdot 206\cdot 0{,}02851.
Primeiro qS=4546{,}5\cdot 206\approx 936{,}579. Então
D\approx 936{,}579\cdot 0{,}02851\approx 26{,}700\\ \mathrm{N}.
Separando componentes (para entendimento):
D_{0}=q S C_{D0}\approx 936{,}579\cdot 0{,}00702\approx 6{,}578\\ \mathrm{N},
D_{i}=q S C_{Di}\approx 936{,}579\cdot 0{,}02149\approx 20{,}122\\ \mathrm{N},
D=D_{0}+D_{i}\approx 6{,}578+20{,}122\approx 26{,}700\\ \mathrm{N}.

Passo 8

Resumo das hipóteses e sensibilidade:
  • Usei densidade padrão ISA a 3000\\ \mathrm{m}.
  • Estimei C_{D0} por método prático: placa plana turbulenta + fator de forma + S_{\text{wet}}=2S. Essa é a etapa com maior incerteza; um valor real de C_{D0} poderia variar (por exemplo se houvesse fuselagem grande ou mais interferências, C_{D0} poderia subir para \sim 0{,}015), o que aumentaria D. Porém a ordem de grandeza do resultado permanece correta.
  • O arrasto induzido é a maior parcela aqui (≈75% do total) por causa do valor relativamente alto de C_{L} (≈0{,}80) em velocidade moderada.
Motivação prática: na prova fazer exatamente esse tipo de estimativa (calcular \rho, C_{L}, C_{Di} e estimar C_{D0}) é o procedimento esperado quando não há gráfico de polar do avião. Seja explícito nas hipóteses.

Resposta

2{,}67\times 10^{4}\\ \mathrm{N}

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