Seja uma asa com alongamento de 10 e perfil NACA 23012. Considerando \operatorname{Re}=5 \times 10^{6} e e=0,95. A asa está em um ângulo de ataque de 4^{\circ}. Calcule os coeficientes de sustentação e de arrasto.

Passo 1

O que o enunciado pede e que dados temos:
  • Pede os coeficientes de sustentação e de arrasto da asa (coeficiente de sustentação C_L e coeficiente de arrasto C_D).
  • Dados fornecidos: alongamento (aspect ratio) \operatorname{AR}=10, perfil NACA 23012, número de Reynolds \operatorname{Re}=5\times 10^{6}, eficiência de Oswald e=0{,}95, ângulo de ataque \alpha=4^\circ.
  • Não foram dados valores experimentais do perfil (como C_{L0}, ângulo de incidência de sustentação nula \alpha_{L0} ou C_{D0}). Vou assumir valores típicos razoáveis quando necessário e explicarei/justificarei cada suposição — isso é comum em problemas de aula quando não há tabela experimental.

Passo 2

Conceitos e fórmulas principais (aula rápida e prática):
  • Coeficiente de sustentação de uma asa finita com lifting-line (aproximação clássica): a curva de sustentação linear da asa é
C_L = a\,(\alpha-\alpha_{L0}),
onde \alpha e \alpha_{L0} estão em radianos, e a é a inclinação da curva de sustentação da asa (em \text{rad}^{-1}).
  • A inclinação 2D do perfil isolado é denotada por a_0 (em \text{rad}^{-1}). Para perfis subcríticos e em regime linear, um valor frequentemente usado como aproximação é
a_0 \approx 2\pi\quad(\text{rad}^{-1}),
que vem da teoria de aerofoil delgado (válido como ordem de grandeza para muitos perfis em Reynolds moderado a alto).
  • A correção para uma asa finita (lift-curve slope da asa) na teoria de Lifting-line é, na forma simples:
a = \frac{a_0}{1 + \dfrac{a_0}{\pi\,\operatorname{AR}}}.
Vou usar essa expressão padrão (ela captura a redução da inclinação devido à liberdade tridimensional).
  • Para o arrasto total de perfil + induzido costuma-se usar o modelo quadrático:
C_D = C_{D0} + k\,C_L^2,
onde C_{D0} é o arrasto de referência (parasita+perfil a C_L\approx 0) e
k=\frac{1}{\pi\,\operatorname{AR}\,e}
é o fator ligado ao arrasto induzido pela sustentação (depende de \operatorname{AR} e e).
Vou agora aplicar essas fórmulas passo a passo com os números.

Passo 3

Converter ângulos para radianos e escolher suposições justificadas:
  • Converter \alpha=4^\circ para radianos:
\alpha = 4^\circ = \frac{4\pi}{180} \approx 0{,}069813\\ \text{rad}.
  • Preciso de \alpha_{L0} (ângulo de sustentação nula) para o NACA 23012. Como não foi dado um valor experimental, é comum para perfis cambered moderados (como os da família NACA 2xx) ter \alpha_{L0} negativo da ordem de alguns graus. Vou assumir
\alpha_{L0} = -2^\circ = -\frac{2\pi}{180} \approx -0{,}034907\\ \text{rad},
uma suposição típica e razoável para NACA com camber moderado. (Se você tiver uma tabela experimental do perfil, substitua esse valor e refaça as contas; o método é igual.)

Passo 4

Calcular a inclinação 2D a_0 e o incremento de ângulo efetivo:
  • Usamos a aproximação clássica
a_0 = 2\pi \approx 6{,}283185\\ \text{rad}^{-1}.
  • A diferença entre ângulo de ataque e ângulo de sustentação nula é
\Delta\alpha=\alpha-\alpha_{L0}=4^\circ-(-2^\circ)=6^\circ=\frac{6\pi}{180}\approx 0{,}104720\\ \text{rad}.
  • Se quiséssemos o coeficiente 2D do perfil isolado seria
C_{l,2D}=a_0\,\Delta\alpha \approx 6{,}283185\cdot 0{,}104720 \approx 0{,}657.
(Isto serve só como referência — a asa finita terá C_L menor por efeito tridimensional.)

Passo 5

Calcular a inclinação da asa finita a e então C_L:
  • Aplicando a correção de lifting-line:
a=\frac{a_0}{1+\dfrac{a_0}{\pi\,\operatorname{AR}}}.
Substituindo a_0=2\pi e \operatorname{AR}=10:
\dfrac{a_0}{\pi\,\operatorname{AR}}=\dfrac{2\pi}{\pi\cdot 10}=\dfrac{2}{10}=0{,}2,
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a=\frac{6{,}283185}{1+0{,}2}=\frac{6{,}283185}{1{,}2}\approx 5{,}235988\\ \text{rad}^{-1}.
  • Agora o coeficiente de sustentação da asa:
C_L = a\,\Delta\alpha \approx 5{,}235988\cdot 0{,}104720 \approx 0{,}5483.
Interpretação: com essas hipóteses a asa gera C_L\approx 0{,}55 a 4^\circ, valor bastante plausível para uma asa com \operatorname{AR}=10.

Passo 6

Calcular o termo induzido (fator k e arrasto induzido):
  • Primeiro o fator
k=\frac{1}{\pi\,\operatorname{AR}\,e}=\frac{1}{\pi\cdot 10\cdot 0{,}95}\approx 0{,}03352.
  • O arrasto induzido vale
C_{D,\text{ind}}=k\,C_L^2\approx 0{,}03352\cdot(0{,}5483)^2.
Calcule (0{,}5483)^2\approx 0{,}3007, então
C_{D,\text{ind}}\approx 0{,}03352\cdot 0{,}3007 \approx 0{,}01007.

Passo 7

Escolher e justificar C_{D0} (arrasto parasita/perfil) e calcular C_D:
  • Sem curva experimental do NACA 23012 em \operatorname{Re}=5\times 10^{6} devo assumir um valor típico de C_{D0}. Para perfis de asa limpos e moderadamente cambered em Reynolds da ordem de milhões, valores típicos de C_{D0} oscilam entre 0{,}005 e 0{,}012. Vou tomar um valor representativo intermediário:
C_{D0}=0{,}008.
(Se você tiver um valor tabelado para o NACA 23012 a esse Reynolds, substitua aqui.)
  • Assim o arrasto total aproximado é
C_D = C_{D0} + C_{D,\text{ind}} \approx 0{,}008 + 0{,}01007 \approx 0{,}01807.

Passo 8

Resumo dos resultados numéricos e observações finais (motivação prática):
  • Temos, com as suposições descritas:
C_L \approx 0{,}5483,\qquad C_D \approx 0{,}01807.
  • Observações importantes para a prova/uso prático:
    • O procedimento é o que normalmente se usa em problemas de aula: 2D a_0\approx 2\pi, correção de lifting-line para a, fórmula quadrática para arrasto.
    • As partes mais sensíveis são \alpha_{L0} (afeta diretamente C_L) e C_{D0} (desloca C_D). Se você tiver dados experimentais do perfil, basta substituir \alpha_{L0} e C_{D0} nas fórmulas e recalcular (mesmo procedimento).
    • Se eu usasse outro valor para \alpha_{L0} ou para C_{D0} os números mudariam, mas o método é o mesmo — isso é típico em problemas sem tabela experimental.

Resposta

C_L \approx 0{,}5483
C_D \approx 0{,}0181

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