(AFA) Em um balcão de supermercado, foram esquecidas 2 sacolas. Uma continha 3 latas de atum, 2 latas de ervilha e 5 de sardinha; a outra, x latas de atum, 3 latas de ervilha e 3 de sardinha. Escolhe- se ao acaso uma sacola e retira-se uma lata. Qual é o menor valor de x para que a probabilidade de tratar-se de uma lata de atum seja, no mínimo, 50 % ?
(A) 13
(B) 14
© 15
(D) 16 .

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos duas sacolas num supermercado.
  • Sacola A: 3 latas de atum, 2 de ervilha e 5 de sardinha (total 10 latas).
  • Sacola B: latas de atum, 3 de ervilha e 3 de sardinha (total latas).
A gente escolhe uma sacola ao acaso (probabilidade cada) e, dentro dela, pega uma lata ao acaso. A pergunta é: qual o menor valor inteiro de que faz a probabilidade de tirar uma lata de atum ser, no mínimo, ?
O conteúdo é de probabilidade condicionada e total, e vamos usar a fórmula da probabilidade total pra resolver isso.

Passo 2

Vamos escrever a probabilidade de tirar atum usando a regra da probabilidade total:
P(atum) ;=; P(sacola A)cdot P(atum|sacola A) ;+;P(sacola B)cdot P(atum|sacola B)
Como escolhemos cada sacola com probabilidade P(atum) ;=;12 times 310 ;+;12 times xx+6 , temos:

Passo 3

A condição é que isso seja pelo menos 12cdot310 ;+;12cdotxx+6 ;>=; 12 . Então montamos a desigualdade:
320 ;+;x2(x+6) ;>=; 12
Vamos resolver passo a passo. Primeiro, junte frações:
3(x+6) ;+;10x ;>=;10(x+6)
Multiplicamos tudo por 3x +18 +10x ;>=;10x +60 Longrightarrow 13x +18 ;>=;10x +60 (positivo, então não inverte sinal):
3x ;>=;42 Longrightarrow x ;>=;14
Agora expandimos:
Passe pro lado esquerdo e pro direito:
Então o menor inteiro que atende é .

Resposta

O menor valor de para que a probabilidade de escolher uma lata de atum seja pelo menos é 14.

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