O que afirma o Teorema dos Eixos Paralelos? Escreva sua fórmula.
Passo 1
O enunciado pergunta duas coisas: (1) o que afirma o Teorema dos Eixos Paralelos e (2) qual é a sua fórmula. Não há dados numéricos fornecidos; o pedido é conceitual e pede a expressão matemática do teorema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é momento de inércia. Para um conjunto de partículas (ou um corpo rígido) o momento de inércia relativo a um eixo é uma medida de quanto a massa está distribuída longe desse eixo. Para partículas discretas a definição é
onde
é a massa da
-ésima partícula e
é a distância dessa partícula ao eixo de rotação. Para um corpo contínuo substitui-se a soma por integral:
Aqui
tem dimensões de massa vezes comprimento ao quadrado (por exemplo
).
Passo 3
Agora enunciamos, em palavras, o Teorema dos Eixos Paralelos (também chamado de Teorema de Steiner): se se conhece o momento de inércia de um corpo em relação a um eixo que passa pelo centro de massa (centro de massa = centro de inércia), então o momento de inércia em relação a qualquer outro eixo paralelo a esse é obtido somando-se ao momento no centro de massa o produto da massa total pelo quadrado da distância entre os eixos. Em frases: “Momento de inércia em um eixo paralelo = momento em eixo pelo centro de massa +
vezes o quadrado da distância entre eixos.”
Passo 4
Vamos provar isso de forma didática para um sistema de partículas (a versão contínua é análoga trocando soma por integral). Seja um sistema de partículas com massas
. Denotemos:
-
o centro de massa; -
um ponto qualquer com um eixo paralelo ao eixo que passa por ; -
o vetor posição da -ésima partícula medido a partir de ; -
o vetor que vai de até (logo , a distância entre os eixos); -
o vetor posição da -ésima partícula medido a partir de .
Temos a relação vetorial
O quadrado da distância de cada partícula ao eixo através de
(ou, em termos escalares, o
) é
Multiplicando por
e somando sobre
obtemos o momento de inércia em relação ao eixo que passa por
:
Agora usamos duas propriedades importantes:
- A definição de centro de massa implica
. (Porque são posições relativas ao centro de massa.) -
é o mesmo para todas as partículas, então , onde é a massa total.
Substituindo, o termo misto some e obtemos
Reconhecendo
como o momento de inércia em torno do eixo que passa por
, isto é
, e lembrando que
, a distância entre os eixos, temos a fórmula final:
Passo 5
Explicando o que cada símbolo significa (muito importante para a prova):
-
é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo que passa por (o eixo deslocado). -
é o momento de inércia do mesmo corpo em relação a um eixo paralelo que passa pelo centro de massa. -
é a massa total do corpo. -
é a distância entre os dois eixos paralelos (ou seja, ).
Passo 6
Observações úteis para a prova e aplicação prática:
- O teorema exige que os eixos sejam paralelos; a orientação do eixo deve ser a mesma.
- Serve tanto para sistemas discretos quanto para corpos contínuos (usar integral).
- É muito usado para obter momentos de inércia em eixos que passam por pontos “fáceis” (por exemplo, uma extremidade) a partir do momento conhecido pelo centro de massa.
- Exemplo clássico (passo a passo): para uma barra fina de massa
e comprimento , o momento em torno de um eixo perpendicular ao comprimento e passando pelo centro é . Para o eixo paralelo passando por uma extremidade, a distância entre eixos é . Aplicando o teorema:
Isso é frequentemente pedido em provas — decorando a fórmula e sabendo aplicar, fica fácil.
Passo 7
Dica de memorização e atitude para a prova: pense “momento no CM + massa vezes distância ao quadrado”. Antes de aplicar, cheque sempre se os eixos são paralelos e qual é
. Respira fundo — seguir a dedução algébrica (como fizemos) resolve qualquer dúvida.