O que afirma o Teorema dos Eixos Paralelos? Escreva sua fórmula.

Passo 1

O enunciado pergunta duas coisas: (1) o que afirma o Teorema dos Eixos Paralelos e (2) qual é a sua fórmula. Não há dados numéricos fornecidos; o pedido é conceitual e pede a expressão matemática do teorema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é momento de inércia. Para um conjunto de partículas (ou um corpo rígido) o momento de inércia relativo a um eixo é uma medida de quanto a massa está distribuída longe desse eixo. Para partículas discretas a definição é
I = \sum_{i} m_i r_i^{2},
onde m_i é a massa da i-ésima partícula e r_i é a distância dessa partícula ao eixo de rotação. Para um corpo contínuo substitui-se a soma por integral:
I=\int r^{2}\,dm.
Aqui I tem dimensões de massa vezes comprimento ao quadrado (por exemplo \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2).

Passo 3

Agora enunciamos, em palavras, o Teorema dos Eixos Paralelos (também chamado de Teorema de Steiner): se se conhece o momento de inércia de um corpo em relação a um eixo que passa pelo centro de massa (centro de massa = centro de inércia), então o momento de inércia em relação a qualquer outro eixo paralelo a esse é obtido somando-se ao momento no centro de massa o produto da massa total pelo quadrado da distância entre os eixos. Em frases: “Momento de inércia em um eixo paralelo = momento em eixo pelo centro de massa + M vezes o quadrado da distância entre eixos.”

Passo 4

Vamos provar isso de forma didática para um sistema de partículas (a versão contínua é análoga trocando soma por integral). Seja um sistema de partículas com massas m_i. Denotemos:
  • C o centro de massa;
  • O um ponto qualquer com um eixo paralelo ao eixo que passa por C;
  • \mathbf{r}_i o vetor posição da i-ésima partícula medido a partir de C;
  • \mathbf{R} o vetor que vai de C até O (logo |\mathbf{R}|=d, a distância entre os eixos);
  • \mathbf{r}_i' o vetor posição da i-ésima partícula medido a partir de O.
Temos a relação vetorial
\mathbf{r}_i'=\mathbf{R}+\mathbf{r}_i.
O quadrado da distância de cada partícula ao eixo através de O (ou, em termos escalares, o r'^2_i) é
r_i'^2 = (\mathbf{R}+\mathbf{r}_i)\cdot(\mathbf{R}+\mathbf{r}_i) = R^2 + 2\,\mathbf{R}\cdot\mathbf{r}_i + r_i^2.
Multiplicando por m_i e somando sobre i obtemos o momento de inércia em relação ao eixo que passa por O:
I_O=\sum_i m_i r_i'^2 = \sum_i m_i r_i^2 + 2\,\mathbf{R}\cdot\sum_i m_i\mathbf{r}_i + \sum_i m_i R^2.
Agora usamos duas propriedades importantes:
  1. A definição de centro de massa implica \sum_i m_i\mathbf{r}_i=\mathbf{0}. (Porque \mathbf{r}_i são posições relativas ao centro de massa.)
  2. R^2 é o mesmo para todas as partículas, então \sum_i m_i R^2 = R^2\sum_i m_i = M R^2, onde M=\sum_i m_i é a massa total.
Substituindo, o termo misto some e obtemos
I_O = \sum_i m_i r_i^2 + M R^2.
Reconhecendo \sum_i m_i r_i^2 como o momento de inércia em torno do eixo que passa por C, isto é I_{\text{CM}}, e lembrando que R=d, a distância entre os eixos, temos a fórmula final:
I_O = I_{\text{CM}} + M d^{2}.

Passo 5

Explicando o que cada símbolo significa (muito importante para a prova):
  • I_O é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo que passa por O (o eixo deslocado).
  • I_{\text{CM}} é o momento de inércia do mesmo corpo em relação a um eixo paralelo que passa pelo centro de massa.
  • M é a massa total do corpo.
  • d é a distância entre os dois eixos paralelos (ou seja, d=|\mathbf{R}|).

Passo 6

Observações úteis para a prova e aplicação prática:
  • O teorema exige que os eixos sejam paralelos; a orientação do eixo deve ser a mesma.
  • Serve tanto para sistemas discretos quanto para corpos contínuos (usar integral).
  • É muito usado para obter momentos de inércia em eixos que passam por pontos “fáceis” (por exemplo, uma extremidade) a partir do momento conhecido pelo centro de massa.
  • Exemplo clássico (passo a passo): para uma barra fina de massa M e comprimento L, o momento em torno de um eixo perpendicular ao comprimento e passando pelo centro é \displaystyle I_{\text{CM}}=\frac{1}{12}M L^{2}. Para o eixo paralelo passando por uma extremidade, a distância entre eixos é d=\tfrac{L}{2}. Aplicando o teorema:
I_{\text{ext}}=I_{\text{CM}}+M d^{2}=\frac{1}{12}M L^{2}+M\left(\frac{L}{2}\right)^{2}=\frac{1}{12}M L^{2}+\frac{1}{4}M L^{2}=\frac{1}{3}M L^{2}.
Isso é frequentemente pedido em provas — decorando a fórmula e sabendo aplicar, fica fácil.

Passo 7

Dica de memorização e atitude para a prova: pense “momento no CM + massa vezes distância ao quadrado”. Antes de aplicar, cheque sempre se os eixos são paralelos e qual é d. Respira fundo — seguir a dedução algébrica (como fizemos) resolve qualquer dúvida.

Resposta

I_{O}=I_{\text{CM}}+M d^{2}

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