Um cilindro sólido e uma esfera sólida têm a mesma massa e raio. Qual deles possui maior momento de inércia em relação ao eixo central?

Passo 1

O enunciado dá duas massas sólidas com a mesma massa e o mesmo raio e pergunta qual delas tem maior momento de inércia em relação ao eixo central. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As duas massas têm a mesma massa M.
  • As duas têm o mesmo raio R.
  • Um corpo é um cilindro sólido (cilindro circular reto maciço) e o outro é uma esfera sólida (esfera maciça).
  • A pergunta: comparar os momentos de inércia de cada sólido em relação ao seu eixo central (eixo de simetria do cilindro; qualquer diâmetro para a esfera).

Passo 2

O que é momento de inércia e como vamos calcular?
  • Definição: o momento de inércia de um sólido em relação a um eixo é dado por
I=\int r^{2}\,dm,
onde r é a distância do elemento de massa dm até o eixo de rotação.
  • Interpretação: massas mais afastadas do eixo contribuem com r^{2} e aumentam muito o valor de I. Para sólidos com simetria é conveniente escolher coordenadas que aproveitem essa simetria e integrar sobre a massa usando a densidade volumétrica.

Passo 3

Estratégia de cálculo (sem pular etapas):
  • Para cada sólido, expressar a densidade volumétrica \rho em função de M e do volume.
  • Escrever um elemento de massa dm simples (anel, disco, fatia, etc.) cuja contribuição ao momento seja fácil de integrar.
  • Integrar r^{2}\,dm sobre todo o volume e simplificar em termos de M e R.
    Vou fazer o cilindro usando anéis cilíndricos concêntricos e a esfera empilhando discos circulares.

Passo 4

Momento de inércia do cilindro sólido (eixo central):
  • Geometria: cilindro de raio R e altura H. O volume é V_{\text{cil}}=\pi R^{2}H. A densidade volumétrica é
\rho_{\text{cil}}=\frac{M}{V_{\text{cil}}}=\frac{M}{\pi R^{2}H}.
  • Elemento de massa: considere um anel de raio r (com 0\le r\le R), espessura dr e altura H. A área lateral do anel é 2\pi r H, então
dm=\rho_{\text{cil}}\cdot(2\pi r H\,dr).
  • Momento do anel em relação ao eixo central: cada ponto do anel está a distância r do eixo, então
dI=r^{2}\,dm = r^{2}\cdot \rho_{\text{cil}}\cdot(2\pi r H\,dr)=2\pi \rho_{\text{cil}} H\, r^{3}\,dr.
  • Integrando de r=0 a r=R:
I_{\text{cil}}=\int_{0}^{R} 2\pi \rho_{\text{cil}} H\, r^{3}\,dr =2\pi \rho_{\text{cil}} H\left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{R} =2\pi \rho_{\text{cil}} H\cdot\frac{R^{4}}{4}.
  • Substituindo \rho_{\text{cil}}=\dfrac{M}{\pi R^{2}H}:
I_{\text{cil}}=2\pi \cdot\frac{M}{\pi R^{2}H}\cdot H\cdot\frac{R^{4}}{4} =\frac{2M}{R^{2}}\cdot\frac{R^{4}}{4} =\frac{1}{2}MR^{2}.
Observação importante: o resultado não depende de H; para qualquer altura, o momento do cilindro maciço em torno do eixo central é \dfrac{1}{2}MR^{2}.

Passo 5

Momento de inércia da esfera sólida (eixo passando pelo centro):
  • Geometria: esfera de raio R. O volume é V_{\text{esf}}=\dfrac{4}{3}\pi R^{3}. A densidade volumétrica é
\rho_{\text{esf}}=\frac{M}{V_{\text{esf}}}=\frac{3M}{4\pi R^{3}}.
  • Método: empilhar discos perpendiculares ao eixo que passa pelo centro. Em coordenada z ao longo do eixo, um disco localizado em z tem raio
a(z)=\sqrt{R^{2}-z^{2}},
espessura dz e volume dV=\pi a^{2}(z)\,dz. Então
dm=\rho_{\text{esf}}\cdot \pi a^{2}(z)\,dz.
  • Momento do disco: um disco fino de massa dm e raio a tem momento \dfrac{1}{2}dm\;a^{2} em relação ao seu eixo. Assim
dI=\frac{1}{2}\,dm\;a^{2}(z) =\frac{1}{2}\,\rho_{\text{esf}} \pi \,a^{4}(z)\,dz.
  • Substituindo a^{2}(z)=R^{2}-z^{2} e integrando de z=-R a z=R:
I_{\text{esf}}=\frac{1}{2}\pi \rho_{\text{esf}} \int_{-R}^{R} \big(R^{2}-z^{2}\big)^{2}\,dz.
  • Expandir e integrar: \big(R^{2}-z^{2}\big)^{2}=R^{4}-2R^{2}z^{2}+z^{4}. Usar integrais simétricas:
\int_{-R}^{R} R^{4}\,dz = 2R^{5},\qquad \int_{-R}^{R} z^{2}\,dz = 2\cdot\frac{R^{3}}{3}=\frac{2R^{3}}{3},\qquad \int_{-R}^{R} z^{4}\,dz = 2\cdot\frac{R^{5}}{5}=\frac{2R^{5}}{5}.
Portanto
\int_{-R}^{R} \big(R^{2}-z^{2}\big)^{2}\,dz =2R^{5}-2R^{2}\cdot\frac{2R^{3}}{3}+\frac{2R^{5}}{5} =2R^{5}\left(1-\frac{2}{3}+\frac{1}{5}\right).
Calcule o parêntese: 1-\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{5}=\dfrac{15-10+3}{15}=\dfrac{8}{15}. Então
\int_{-R}^{R} \big(R^{2}-z^{2}\big)^{2}\,dz = 2R^{5}\cdot\frac{8}{15}=\frac{16}{15}R^{5}.
  • Voltemos a I_{\text{esf}}:
I_{\text{esf}}=\frac{1}{2}\pi \rho_{\text{esf}}\cdot \frac{16}{15}R^{5} =\frac{8}{15}\pi \rho_{\text{esf}} R^{5}.
Substituindo \rho_{\text{esf}}=\dfrac{3M}{4\pi R^{3}}:
I_{\text{esf}}=\frac{8}{15}\pi \cdot\frac{3M}{4\pi R^{3}} \cdot R^{5} =\frac{8}{15}\cdot\frac{3}{4} M R^{2} =\frac{2}{5}MR^{2}.

Passo 6

Comparação e interpretação física:
  • Encontramos
I_{\text{cil}}=\frac{1}{2}MR^{2}=\; \frac{1}{2}MR^{2}\quad(\text{ou seja }0{,}5\,MR^{2}),
I_{\text{esf}}=\frac{2}{5}MR^{2}=\; \frac{2}{5}MR^{2}\quad(\text{ou seja }0{,}4\,MR^{2}).
  • Como 0{,}5>0{,}4, o cilindro sólido tem maior momento de inércia. Física-intuitiva: na esfera parte considerável da massa está mais próxima do centro; no cilindro (em particular nas camadas externas) há mais massa a distâncias próximas de R, aumentando I devido ao fator r^{2}.

Passo 7

Resumo final e dica para prova: memorize as fórmulas padrão
I_{\text{cil}}=\frac{1}{2}MR^{2},\qquad I_{\text{esf}}=\frac{2}{5}MR^{2},
e compare numericamente quando massa e raio são os mesmos. Isso resolve rápido questões como esta.

Resposta

O cilindro sólido possui maior momento de inércia. I_{\text{cil}}=\dfrac{1}{2}MR^{2}, I_{\text{esf}}=\dfrac{2}{5}MR^{2}.

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