Um cilindro sólido e uma esfera sólida têm a mesma massa e raio. Qual deles possui maior momento de inércia em relação ao eixo central?
Passo 1
O enunciado dá duas massas sólidas com a mesma massa e o mesmo raio e pergunta qual delas tem maior momento de inércia em relação ao eixo central. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- As duas massas têm a mesma massa
. - As duas têm o mesmo raio
. - Um corpo é um cilindro sólido (cilindro circular reto maciço) e o outro é uma esfera sólida (esfera maciça).
- A pergunta: comparar os momentos de inércia de cada sólido em relação ao seu eixo central (eixo de simetria do cilindro; qualquer diâmetro para a esfera).
Passo 2
O que é momento de inércia e como vamos calcular?
- Definição: o momento de inércia de um sólido em relação a um eixo é dado por
onde
é a distância do elemento de massa
até o eixo de rotação.
- Interpretação: massas mais afastadas do eixo contribuem com
e aumentam muito o valor de . Para sólidos com simetria é conveniente escolher coordenadas que aproveitem essa simetria e integrar sobre a massa usando a densidade volumétrica.
Passo 3
Estratégia de cálculo (sem pular etapas):
- Para cada sólido, expressar a densidade volumétrica
em função de e do volume. - Escrever um elemento de massa
simples (anel, disco, fatia, etc.) cuja contribuição ao momento seja fácil de integrar. - Integrar
sobre todo o volume e simplificar em termos de e .
Vou fazer o cilindro usando anéis cilíndricos concêntricos e a esfera empilhando discos circulares.
Passo 4
Momento de inércia do cilindro sólido (eixo central):
- Geometria: cilindro de raio
e altura . O volume é . A densidade volumétrica é
- Elemento de massa: considere um anel de raio
(com ), espessura e altura . A área lateral do anel é , então
- Momento do anel em relação ao eixo central: cada ponto do anel está a distância
do eixo, então
- Integrando de
a :
- Substituindo
:
Observação importante: o resultado não depende de
; para qualquer altura, o momento do cilindro maciço em torno do eixo central é
.
Passo 5
Momento de inércia da esfera sólida (eixo passando pelo centro):
- Geometria: esfera de raio
. O volume é . A densidade volumétrica é
- Método: empilhar discos perpendiculares ao eixo que passa pelo centro. Em coordenada
ao longo do eixo, um disco localizado em tem raio
espessura
e volume
. Então
- Momento do disco: um disco fino de massa
e raio tem momento em relação ao seu eixo. Assim
- Substituindo
e integrando de a :
- Expandir e integrar:
. Usar integrais simétricas:
Portanto
Calcule o parêntese:
. Então
- Voltemos a
:
Substituindo
:
Passo 6
Comparação e interpretação física:
- Encontramos
- Como
, o cilindro sólido tem maior momento de inércia. Física-intuitiva: na esfera parte considerável da massa está mais próxima do centro; no cilindro (em particular nas camadas externas) há mais massa a distâncias próximas de , aumentando devido ao fator .
Passo 7
Resumo final e dica para prova: memorize as fórmulas padrão
e compare numericamente quando massa e raio são os mesmos. Isso resolve rápido questões como esta.
Resposta
O cilindro sólido possui maior momento de inércia.
,
.