Um anel fino de massa M e raio R rola sem deslizar. Qual a razão entre sua energia cinética de translação e sua energia cinética de rotação?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Um anel fino de massa M e raio R.
  • O anel “roda sem deslizar” (rolamento sem deslizamento).
    A pergunta é:
  • Qual a razão entre a energia cinética de translação e a energia cinética de rotação, isto é, calcular \dfrac{K_{\text{trans}}}{K_{\text{rot}}}?

Passo 2

Escrevendo a fórmula da energia cinética de translação e explicando os símbolos:
K_{\text{trans}}=\tfrac{1}{2}M v^{2},
onde:
  • K_{\text{trans}} é a energia cinética associada ao movimento do centro de massa;
  • M é a massa do anel;
  • v é a velocidade do centro de massa (velocidade de translação).
Explicação didática rápida: essa fórmula vem da soma da energia cinética de todas as partículas do corpo quando todas se movimentam com a mesma velocidade v (ou seja, do movimento translacional do centro de massa).

Passo 3

Escrevendo a fórmula da energia cinética de rotação e explicando os símbolos:
K_{\text{rot}}=\tfrac{1}{2}I\omega^{2},
onde:
  • K_{\text{rot}} é a energia associada à rotação em torno do centro de massa;
  • I é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo de rotação (aqui o eixo que passa pelo centro do anel, perpendicular ao plano do anel);
  • \omega é a velocidade angular.
Para um anel fino (massa concentrada a distância R do eixo), o momento de inércia é
I=MR^{2}.
Breve justificativa didática: o momento de inércia é a soma (ou integral) de r^{2}\,dm. Num anel fino todo o elemento de massa está a r=R, então I=\int R^{2}\,dm=R^{2}\int dm=MR^{2}.

Passo 4

Usando a condição “roda sem deslizar”: a velocidade linear do centro é relacionada à velocidade angular por
v=\omega R.
Explicação simples: sem deslizamento, o ponto de contato com o chão tem velocidade instantânea zero; isso implica que a velocidade do centro v é igual à velocidade tangencial R\omega.

Passo 5

Substituir I e a relação v=\omega R em K_{\text{rot}}:
K_{\text{rot}}=\tfrac{1}{2}I\omega^{2}=\tfrac{1}{2}(MR^{2})\omega^{2}=\tfrac{1}{2}M(R\omega)^{2}.
Usando R\omega=v obtemos
K_{\text{rot}}=\tfrac{1}{2}M v^{2}.
Já tínhamos
K_{\text{trans}}=\tfrac{1}{2}M v^{2}.
Portanto as duas energias têm a mesma expressão numérica para o anel fino em rolamento sem deslizamento.

Resposta

1

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