Um anel fino de massa
e raio
rola sem deslizar. Qual a razão entre sua energia cinética de translação e sua energia cinética de rotação?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Um anel fino de massa
e raio . - O anel “roda sem deslizar” (rolamento sem deslizamento).
A pergunta é: - Qual a razão entre a energia cinética de translação e a energia cinética de rotação, isto é, calcular
?
Passo 2
Escrevendo a fórmula da energia cinética de translação e explicando os símbolos:
onde:
-
é a energia cinética associada ao movimento do centro de massa; -
é a massa do anel; -
é a velocidade do centro de massa (velocidade de translação).
Explicação didática rápida: essa fórmula vem da soma da energia cinética de todas as partículas do corpo quando todas se movimentam com a mesma velocidade
(ou seja, do movimento translacional do centro de massa).
Passo 3
Escrevendo a fórmula da energia cinética de rotação e explicando os símbolos:
onde:
-
é a energia associada à rotação em torno do centro de massa; -
é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo de rotação (aqui o eixo que passa pelo centro do anel, perpendicular ao plano do anel); -
é a velocidade angular.
Para um anel fino (massa concentrada a distância
do eixo), o momento de inércia é
Breve justificativa didática: o momento de inércia é a soma (ou integral) de
. Num anel fino todo o elemento de massa está a
, então
.
Passo 4
Usando a condição “roda sem deslizar”: a velocidade linear do centro é relacionada à velocidade angular por
Explicação simples: sem deslizamento, o ponto de contato com o chão tem velocidade instantânea zero; isso implica que a velocidade do centro
é igual à velocidade tangencial
.
Passo 5
Substituir
e a relação
em
:
Usando
obtemos
Já tínhamos
Portanto as duas energias têm a mesma expressão numérica para o anel fino em rolamento sem deslizamento.