Afirmação: As populações A e B têm a mesma média (mu1=mu2). Amostra A: n1=10, barx1=75, s1=15
Amostra B: n2=20, barx2=80, s2=12

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está sendo pedido aqui. A gente tem duas populações, A e B, e a afirmação é que elas têm a mesma média, ou seja, mu1 = mu2. Para testar isso, vamos usar os dados das amostras fornecidas:
  • Amostra A: tamanho n1 = 10, média barx1 = 75, e desvio padrão s1 = 15.
  • Amostra B: tamanho n2 = 20, média barx2 = 80, e desvio padrão s2 = 12.
A matéria que vamos usar aqui é teste de hipótese para duas médias. Para resolver isso, vamos precisar calcular o valor do teste t e comparar com o valor crítico ou usar o p-valor para decidir se rejeitamos ou não a afirmação de que as médias são iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos definir nossas hipóteses:
  • Hipótese nula ( H0): mu1 = mu2 (as médias são iguais).
  • Hipótese alternativa ( Ha): mu1 neq mu2 (as médias são diferentes).
Esse é um teste bicaudal porque estamos verificando se as médias são diferentes, sem especificar qual é maior.

Passo 3

Agora, vamos calcular o erro padrão da diferença das médias. A fórmula para isso é:
SE = raizs1^2n1 + s2^2n2
Substituindo os valores:
SE = raiz15^210 + 12^220 = raiz22510 + 14420 = raiz22.5 + 7.2 = raiz29.7 approx 5.45

Passo 4

Em seguida, calculamos o valor t usando a diferença das médias dividida pelo erro padrão:
t = barx1 - barx2SE = 75 - 805.45 approx -55.45 approx -0.92

Passo 5

Agora, precisamos determinar os graus de liberdade para o teste. Para duas amostras com variâncias diferentes, usamos a fórmula de Satterthwaite:
df = ( s1^2n1 + s2^2n2 )^2( s1^2n1 )^2n1-1 + ( s2^2n2 )^2n2-1
Substituindo os valores:
df = (22.5 + 7.2)^222.5^29 + 7.2^219 approx 29.7^256.25 + 2.73 approx 882.0958.98 approx 14.95 approx 15

Passo 6

Vamos escolher um nível de significância, geralmente alpha = 0.05. Com df = 15, consultando a tabela t de Student ou usando uma calculadora, encontramos o valor crítico para um teste bicaudal:
tcrítico approx pm 2.131 í

Passo 7

Agora, comparamos nosso valor t calculado com o valor crítico:
|t| = 0.92 < 2.131
Como 0.92 é menor que 2.131, não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com base nos cálculos, não há evidências suficientes para rejeitar a afirmação de que as médias das populações A e B são iguais.

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