Afirmação: As populações A e B têm variâncias distintas (sigma1^2 neq sigma2^2 ).
Amostra A: n=25, barx=175, s^2=900
Amostra B: n=31, barx=200, s^2=2000

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas populações, A e B, e queremos saber se as variâncias delas são diferentes. Para isso, vamos usar um teste estatístico chamado teste F. A gente vai precisar dos tamanhos das amostras, das médias e das variâncias das duas amostras para fazer esse teste.

Passo 2

Primeiro, vamos estabelecer as hipóteses do nosso teste:
  • Hipótese nula ( H0): As variâncias das duas populações são iguais, ou seja, sigma1^2 = sigma2^2.
  • Hipótese alternativa ( Ha): As variâncias das duas populações são diferentes, ou seja, sigma1^2 neq sigma2^2.

Passo 3

Agora, vamos calcular o estatístico de teste F. Esse valor nos ajuda a comparar as variâncias das duas amostras. A fórmula para o F é:
F = s1^2s2^2
Onde:
  • s1^2 é a variância da amostra A.
  • s2^2 é a variância da amostra B.
Vamos substituir os valores:
F = 9002000 = 0,45

Passo 4

Em seguida, precisamos determinar os graus de liberdade para o teste F. Eles são baseados nos tamanhos das amostras:
  • Graus de liberdade do numerador ( df1): n1 - 1 = 25 - 1 = 24
  • Graus de liberdade do denominador ( df2): n2 - 1 = 31 - 1 = 30

Passo 5

Agora, vamos consultar uma tabela F ou usar uma calculadora estatística para encontrar o valor crítico de F para um determinado nível de significância (geralmente 5%, se não especificado). Supondo que estamos usando um nível de significância de 5%, e como nosso teste é bilateral (as variâncias podem ser maiores ou menores), precisamos verificar os valores críticos para F0.025 e F0.975 com df1 = 24 e df2 = 30.

Passo 6

Comparando o nosso valor calculado de F = 0,45 com os valores críticos da tabela F:
  • Se F estiver fora do intervalo entre os valores críticos, rejeitamos a hipótese nula.
  • Se F estiver dentro do intervalo, não rejeitamos a hipótese nula.
Como F = 0,45 é menor que o menor valor crítico, rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com base no teste F, existe evidência suficiente para concluir que as variâncias das populações A e B são diferentes.

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