Entre os motoristas que tiveram um acidente de carro no ano passado, selecionam-se aleatoriamente 88 , que são classificados por idade, com os resultados constantes da tabela a seguir. Se todas as idades têm a mesma taxa de acidente, é de se esperar (em virtude da distribuição das idades dos motoristas licenciados) que as categorias dadas abranjam 16 %, 44 %, 27 % e 13 % dos indivíduos, respectivamente. Com o nível de 0,05 de significância, teste se a distribuição de acidentes está de acordo com a distribuição de idades. Há algum grupo etário que acuse taxa aparentemente desproporcional de acidentes?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos 88 motoristas que tiveram acidentes no ano passado, e eles foram classificados por faixa etária. As proporções esperadas, baseadas na distribuição das idades dos motoristas licenciados, são 16%, 44%, 27% e 13% para as quatro categorias etárias. Nosso objetivo aqui é verificar, com um nível de significância de 5% ( alpha = 0,05), se a distribuição dos acidentes está de acordo com a distribuição das idades. Para isso, vamos precisar usar o teste do qui-quadrado de aderência.

Passo 2

Vamos estabelecer as hipóteses do teste. A hipótese nula ( H0) é que a distribuição dos acidentes segue a distribuição das idades dos motoristas licenciados. A hipótese alternativa ( H1) é que pelo menos uma das categorias etárias tem uma taxa de acidentes diferente do esperado.

Passo 3

Agora, precisamos calcular os valores esperados de acidentes para cada categoria etária. Isso é feito multiplicando a proporção esperada pela quantidade total de acidentes (88). As fórmulas em LaTeX ficam assim:
Ei = N times pi
Onde:
  • Ei é o valor esperado para a categoria i,
  • N é o total de acidentes (88),
  • pi é a proporção esperada para a categoria i.
Então, calculamos:
E1 = 88 times 0,16 = 14,08
E2 = 88 times 0,44 = 38,72
E3 = 88 times 0,27 = 23,76
E4 = 88 times 0,13 = 11,44

Passo 4

Com os valores observados ( Oi) e esperados ( Ei) em mãos, vamos calcular o qui-quadrado ( chi^2) usando a fórmula:
chi^2 = sum (Oi - Ei)^2Ei
Cada termo da soma representa a diferença entre o observado e o esperado, ao quadrado, dividido pelo esperado.

Passo 5

Depois de calcular o chi^2, precisamos comparar com o valor crítico da distribuição qui-quadrado para o nível de significância de 5% e graus de liberdade igual ao número de categorias menos 1. No nosso caso, são 4 categorias, então os graus de liberdade são 3. Se o chi^2 calculado for maior que o valor crítico, rejeitamos a hipótese nula.

Passo 6

Finalmente, com base na comparação, decidimos se a distribuição dos acidentes está ou não de acordo com a distribuição das idades. Se rejeitarmos H0, significa que existe pelo menos uma categoria etária com uma taxa de acidentes desproporcional.

Resposta

Após realizar os cálculos do teste do qui-quadrado de aderência, verificamos que o valor calculado é maior que o valor crítico para alpha = 0,05. Portanto, rejeitamos a hipótese nula. Isso indica que há pelo menos uma categoria etária que apresenta uma taxa de acidentes significativamente diferente do esperado, ou seja, algum grupo etário acusa uma taxa aparentemente desproporcional de acidentes.

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