Para as afirmações abaixo, prove (para as verdadeiras) ou apresente um contraexemplo (para as falsas). Considere conjuntos
contidos em um universo
.
.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos três conjuntos
e a hipótese
Queremos mostrar que sob essa hipótese necessariamente
Para isso vamos usar a definição de subconjunto e de diferença de conjuntos:
-
significa que todo também pertence a . -
.
Passo 2
Prova por contradição. Suponha, para alcançar contradição, que
Então existe algum elemento
tal que
Isso implica simultaneamente que
-
. -
.
Como
, de
segue
Pela definição de diferença,
Assim
, mas já tínhamos
. Isso é uma contradição.
Passo 3
Como a suposição
leva a contradição, concluímos que não existe tal
. Logo
Resposta
Está provado que