Para as afirmações abaixo, prove (para as verdadeiras) ou apresente um contraexemplo (para as falsas). Considere conjuntos A, B, C contidos em um universo U.
A \subset(B-C) \Rightarrow A \cap C=\varnothing.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos três conjuntos A,B,C\subset U e a hipótese
A \subset (B - C).
Queremos mostrar que sob essa hipótese necessariamente
A \cap C = \varnothing.
Para isso vamos usar a definição de subconjunto e de diferença de conjuntos:
  • A\subset D significa que todo x\in A também pertence a D.
  • B - C = \{\,x\in B \mid x\notin C\}.

Passo 2

Prova por contradição. Suponha, para alcançar contradição, que
A \cap C \neq \varnothing.
Então existe algum elemento x tal que
x \in A \cap C.
Isso implica simultaneamente que
  1. x\in A.
  2. x\in C.
Como A\subset (B - C), de x\in A segue
x\in B - C.
Pela definição de diferença,
x\in B - C \implies x\in B \quad\text{e}\quad x\notin C.
Assim x\notin C, mas já tínhamos x\in C. Isso é uma contradição.

Passo 3

Como a suposição A \cap C \neq \varnothing leva a contradição, concluímos que não existe tal x. Logo
A \cap C = \varnothing.

Resposta

Está provado que
A \subset (B - C) \;\Longrightarrow\; A \cap C = \varnothing.

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