Em cada item, verifique injetividade e sobrejetividade das funções. Quando alguma das propriedades falhar, justifique.
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Passo 1
O enunciado pede para verificar as propriedades de injetividade e sobrejetividade da função
Usaremos as definições de função injetiva (um-para-um) e sobrejetiva (sobre) para cada caso.
Passo 2
Verificação de injetividade. Por definição,
é injetiva se, sempre que
então obrigatoriamente
. Suponha
Então
Subtraindo
de ambos os lados,
Dividindo por
, conclui-se
Logo,
é injetiva.
Passo 3
Verificação de sobrejetividade. Por definição,
é sobrejetiva se, para todo
, existir
tal que
Da equação
segue
Para
ser natural,
deve ser par, isto é,
ímpar. Portanto, valores pares de
não são imagem de nenhum
. Assim,
não é sobrejetiva.