Em cada item, verifique injetividade e sobrejetividade das funções. Quando alguma das propriedades falhar, justifique.
f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}, f(x)=2 x+1;

Passo 1

O enunciado pede para verificar as propriedades de injetividade e sobrejetividade da função
f\colon \mathbb{N}\to\mathbb{N},\quad f(x)=2x+1.
Usaremos as definições de função injetiva (um-para-um) e sobrejetiva (sobre) para cada caso.

Passo 2

Verificação de injetividade. Por definição, f é injetiva se, sempre que
f(x_1)=f(x_2),
então obrigatoriamente x_1=x_2. Suponha
f(x_1)=f(x_2).
Então
2x_1+1 = 2x_2+1.
Subtraindo 1 de ambos os lados,
2x_1 = 2x_2.
Dividindo por 2, conclui-se
x_1 = x_2.
Logo, f é injetiva.

Passo 3

Verificação de sobrejetividade. Por definição, f é sobrejetiva se, para todo y\in\mathbb{N}, existir x\in\mathbb{N} tal que
f(x)=y.
Da equação
2x+1 = y
segue
x = \frac{y-1}{2}.
Para x ser natural, y-1 deve ser par, isto é, y ímpar. Portanto, valores pares de y não são imagem de nenhum x\in\mathbb{N}. Assim, f não é sobrejetiva.

Resposta

f é injetiva. f não é sobrejetiva, pois não atinge os valores pares de \mathbb{N}.

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