Para as afirmações abaixo, prove (para as verdadeiras) ou apresente um contraexemplo (para as falsas). Considere x, y, z inteiros.
Se x e y são ambos ímpares, então x z+z y é par para qualquer $z.

Passo 1

O enunciado afirma que, para x,y,z\in\mathbb{Z}, se x e y são ímpares então
x z + z y
é um número par para qualquer z. O conteúdo aqui é a teoria de números inteiros, em particular as definições e propriedades de números pares e ímpares. Vamos usar que • um inteiro é ímpar se pode ser escrito como 2k+1 e • o produto de um inteiro qualquer por um número par é par.

Passo 2

Suponha que x e y são ímpares. Então existem inteiros k e \ell tais que
x = 2k + 1 \quad\text{e}\quad y = 2\ell + 1.

Passo 3

Somando x e y temos
x + y = (2k+1)+(2\ell+1) = 2(k+\ell+1).
Chamando m = k+\ell+1, isso mostra que
x + y = 2m,
ou seja, x+y é par.

Passo 4

Reescrevendo a expressão x z + z y em fatorado:
x z + z y = z\,(x+y).
Como x+y=2m é par, z\,(x+y) = z\cdot 2m = 2\,(z m), que é múltiplo de 2, logo é par.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

Exercícios relacionados