Para as afirmações abaixo, prove (para as verdadeiras) ou apresente um contraexemplo (para as falsas). Considere x, y, z inteiros.
Para todo inteiro x, existe um inteiro y tal que (x-2)(y-2)>0.

Passo 1

O enunciado é a afirmação
\forall x\in\mathbb{Z},\;\exists y\in\mathbb{Z}\quad (x-2)(y-2)>0.
O conteúdo aqui envolve lógica de quantificadores e sinais de produto: para que (x-2)(y-2)>0, é preciso que x-2 e y-2 tenham o mesmo sinal e sejam não nulos.

Passo 2

Para encontrar um contraexemplo, basta escolher um x para o qual não existe y satisfazendo (x-2)(y-2)>0. Se tomarmos
x = 2,
então x-2 = 0 e, para qualquer y\in\mathbb{Z},
(x-2)(y-2) = 0\cdot(y-2) = 0\not>0.
Logo, não existe nenhum y que torne o produto estritamente positivo.

Resposta

A afirmação é falsa; um contraexemplo é x=2, pois para esse valor não há y inteiro que faça (x-2)(y-2)>0.

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