6 As afirmações abaixo são verdadeiras? Justifique. De exemplos e/ou contraexemplos.
(a) Se A é um conjunto aberto, então todos os pontos de A são pontos de Acumulação;
(b) Se A é um conjunto aberto, então nenhum ponto da fronteira de A pertence a A;
(c) Existem conjuntos que são abertos e fechados ao mesmo tempo;
(d) Se F é um conjunto fechado, então todos os seus pontos fronteira pertencem a F;
(e) Um ponto da fronteira de um conjunto é sempre um ponto de acumulação desse conjunto.

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a veracidade de cinco afirmações sobre conjuntos abertos, conjuntos fechados, pontos de acumulação e pontos de fronteira, dando justificativas e exemplos ou contraexemplos. O conteúdo envolve topologia em espaços métricos (por exemplo, R) e as definições de
– conjunto aberto e conjunto fechado;
– ponto de acumulação de um conjunto A: todo entorno de x contém algum ponto de A diferente de x;
– ponto de fronteira de A: todo entorno de x intersecta A e seu complemento simultaneamente.

Passo 2

(a) “Se A é um conjunto aberto, então todos os pontos de A são pontos de acumulação.”
Como A é aberto, para cada xin A existe um raio r>0 tal que a bola B(x,r)subset A. Tomando qualquer 0<varepsilon<r, o conjunto B(x,varepsilon)setminusx não fica vazio em R e está contido em A. Logo todo entorno de x contém outro ponto de A e x é ponto de acumulação.
Exemplo: em A=(0,1), todo xin(0,1) é ponto de acumulação de (0,1).
Conclusão: a afirmação é verdadeira.

Passo 3

(b) “Se A é um conjunto aberto, então nenhum ponto da fronteira de A pertence a A.”
Por definição, a fronteira de A é
partial A = A,setminus,int(A)
Como int(A)=A quando A é aberto, segue que partial Acap A=emptyset.
Exemplo: para A=(0,1), partial A=0,1 e de fato 0,1notin(0,1).
Conclusão: a afirmação é verdadeira.

Passo 4

(c) “Existem conjuntos que são abertos e fechados ao mesmo tempo.”
Sim. Chamamos esses conjuntos de clopen. Em R (ou em qualquer espaço métrico conexo) os únicos exemplos são A=emptyset e A=R, pois
emptyset é aberto e emptyset=emptyset o torna fechado;
R é fechado e int(R)=R o torna aberto.
Conclusão: a afirmação é verdadeira.

Passo 5

(d) “Se F é um conjunto fechado, então todos os seus pontos de fronteira pertencem a F.”
Para F fechado vale F=F. Então
partial F = F,setminus,int(F) = Fsetminusint(F) subset F
Logo todo ponto de partial F está em F.
Conclusão: a afirmação é verdadeira.

Passo 6

(e) “Um ponto de fronteira de um conjunto é sempre um ponto de acumulação desse conjunto.”
Contraexemplo em R: seja A=0.
A=0 e int(A)=emptyset, logo partial A=0.
– Mas 0 não é ponto de acumulação de A, pois todo entorno de 0 sem 0 não contém mais nenhum ponto de A.
Portanto há ponto de fronteira que não é ponto de acumulação.
Conclusão: a afirmação é falsa.

Resposta

(a) verdadeira
(b) verdadeira
(c) verdadeira
(d) verdadeira
(e) falsa

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