6 As afirmações abaixo são verdadeiras? Justifique. De exemplos e/ou contraexemplos.
(a) Se A é um conjunto aberto, então todos os pontos de A são pontos de Acumulação;
(b) Se A é um conjunto aberto, então nenhum ponto da fronteira de A pertence a A;
(c) Existem conjuntos que são abertos e fechados ao mesmo tempo;
(d) Se F é um conjunto fechado, então todos os seus pontos fronteira pertencem a F;
(e) Um ponto da fronteira de um conjunto é sempre um ponto de acumulação desse conjunto.
Passo 1
O enunciado pede para avaliar a veracidade de cinco afirmações sobre conjuntos abertos, conjuntos fechados, pontos de acumulação e pontos de fronteira, dando justificativas e exemplos ou contraexemplos. O conteúdo envolve topologia em espaços métricos (por exemplo, ) e as definições de
– conjunto aberto e conjunto fechado;
– ponto de acumulação de um conjunto : todo entorno de contém algum ponto de diferente de ;
– ponto de fronteira de : todo entorno de intersecta e seu complemento simultaneamente.
Passo 2
(a) “Se é um conjunto aberto, então todos os pontos de são pontos de acumulação.”
Como é aberto, para cada existe um raio tal que a bola . Tomando qualquer , o conjunto não fica vazio em e está contido em . Logo todo entorno de contém outro ponto de e é ponto de acumulação.
Exemplo: em , todo é ponto de acumulação de .
Conclusão: a afirmação é verdadeira.
Passo 3
(b) “Se é um conjunto aberto, então nenhum ponto da fronteira de pertence a .”
Por definição, a fronteira de é
Como int(A)=A quando A é aberto, segue que partial Acap A=emptyset.
Exemplo: para A=(0,1), partial A=0,1 e de fato 0,1notin(0,1).
Conclusão: a afirmação é verdadeira.
Passo 4
(c) “Existem conjuntos que são abertos e fechados ao mesmo tempo.”
Sim. Chamamos esses conjuntos de clopen. Em R (ou em qualquer espaço métrico conexo) os únicos exemplos são A=emptyset e A=R, pois
– emptyset é aberto e emptyset=emptyset o torna fechado;
– R é fechado e int(R)=R o torna aberto.
Conclusão: a afirmação é verdadeira.
Passo 5
(d) “Se F é um conjunto fechado, então todos os seus pontos de fronteira pertencem a F.”
Para F fechado vale F=F. Então
partial F = F,setminus,int(F) = Fsetminusint(F) subset F
Logo todo ponto de partial F está em F.
Conclusão: a afirmação é verdadeira.
Passo 6
(e) “Um ponto de fronteira de um conjunto é sempre um ponto de acumulação desse conjunto.”
Contraexemplo em R: seja A=0.
– A=0 e int(A)=emptyset, logo partial A=0.
– Mas 0 não é ponto de acumulação de A, pois todo entorno de 0 sem 0 não contém mais nenhum ponto de A.
Portanto há ponto de fronteira que não é ponto de acumulação.
Conclusão: a afirmação é falsa.