Exercício 13. (Opcional) Uma aplicação
induz uma aplicação
entre os respectivos fibrados tangentes pela lei
Esta aplicação
é às vezes chamada de aplicação induzida ou de push-forward de
. Mostre que, se
é de classe
, então
de classe
.
Passo 1
Vamos recapitular o que o enunciado pede. Temos uma aplicação
de classe
entre variedades de dimensões, digamos,
e
. A aplicação induzida (push-forward)
é bem definida entre os fibrados tangentes. Queremos provar que
é de classe
. Para isso vamos usar gráficos locais e as trivializações padrão dos fibrados tangentes.
Passo 2
Escolha uma carta local
em
, com , e uma carta
em
, com , tais que
. As trivializações naturais dos fibrados tangentes são
Essas aplicações
e
são de classe
.
Passo 3
Para ver a regularidade de
, componha-o com as trivializações. No diagrama comutativo local abaixo, basta estudar
Seja
e . Escrevendo , tem-se
Mas como
vemos que, em coordenadas,
Passo 4
Agora note que
é de classe
(composição de mapas
), logo
é de classe
. A aplicação
é então a união de duas funções:
que é
e
que é
(multiplicação de matriz dependente de
por vetor
). Concluímos que essa aplicação coordenada é
.
Resposta
A aplicação induzida
é de classe
.