Exercício 13. (Opcional) Uma aplicação f: M longrightarrow N induz uma aplicação f*: T M longrightarrow T N entre os respectivos fibrados tangentes pela lei
f*(x, v)=(f(x), f^prime(x) cdot v)
Esta aplicação f* é às vezes chamada de aplicação induzida ou de push-forward de f. Mostre que, se f: M longrightarrow N é de classe C^k, então f*: T M longrightarrow T N de classe C^k-1.

Passo 1

Vamos recapitular o que o enunciado pede. Temos uma aplicação fcolon Mto N de classe C^k entre variedades de dimensões, digamos, m e n. A aplicação induzida (push-forward)
f*colon TMlongrightarrow TN, f*(x,v)=(f(x),,f'(x)cdot v)
é bem definida entre os fibrados tangentes. Queremos provar que f* é de classe C^k-1. Para isso vamos usar gráficos locais e as trivializações padrão dos fibrados tangentes.

Passo 2

Escolha uma carta local em , com , e uma carta em , com , tais que . As trivializações naturais dos fibrados tangentes são
Essas aplicações e são de classe .

Passo 3

Para ver a regularidade de , componha-o com as trivializações. No diagrama comutativo local abaixo, basta estudar
Seja e . Escrevendo , tem-se
Mas como
vemos que, em coordenadas,

Passo 4

Agora note que F=psicirc fcircphi^-1 é de classe C^k (composição de mapas C^k), logo DF é de classe C^k-1. A aplicação
(x,v);longmapsto;(F(x),,DF(x),v)
é então a união de duas funções: xmapsto F(x) que é C^k e (x,v)mapsto DF(x),v que é C^k-1 (multiplicação de matriz dependente de x por vetor v). Concluímos que essa aplicação coordenada é C^k-1.

Resposta

A aplicação induzida f*colon TMto TN é de classe C^k-1.

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