Em uma agência bancária cinco caixas atendem os clientes em flla única. Suponha que o atendimento de cada cliente demora exatamente 3 minutos e que o caixa 1 atende o primeiro da fila ao mesmo tempo em que o caixa 2 atende o segundo, o caixa 3 o terceiro e assim sucessivamente.
Em que caixa será atendido o sexagésimo oitavo cliente da fila?

Passo 1

Vou escrever claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • \,5\, caixas que atendem clientes em fila única.
  • O atendimento de cada cliente demora exatamente \,3 minutos.
  • No início, simultaneamente: o caixa \,1\, atende o cliente \,1\,, o caixa \,2\, atende o cliente \,2\,, o caixa \,3\, atende o cliente \,3\,, o caixa \,4\, atende o cliente \,4\, e o caixa \,5\, atende o cliente \,5.
  • Depois de \,3\, minutos esses cinco atendimentos acabam e os próximos cinco clientes começam a ser atendidos, novamente distribuídos da mesma forma entre os caixas \,1 a \,5.
O que o problema pede: em que caixa será atendido o cliente de número \,68\, na fila?

Passo 2

Entendimento do padrão: como os cinco caixas trabalham em paralelo e cada atendimento dura sempre \,3\, minutos, os atendimentos ocorrem em “rodadas” de \,5\, clientes cada. Ou seja, clientes \,1 a \,5 formam a primeira rodada (caixas \,1 a \,5), clientes \,6 a \,10 formam a segunda rodada (novamente caixas \,1 a \,5), e assim por diante. Portanto a atribuição de um cliente a um caixa segue um ciclo periódico de comprimento \,5.

Passo 3

Como usar isso na prática: para saber qual caixa atende o cliente de número \,n basta dividir \,n\, por \,5\, e observar o resto dessa divisão (o chamado resto ou congruência módulo \,5). A correspondência é:
  • se o resto da divisão de \,n por \,5 for \,1, atende o caixa \,1;
  • se o resto for \,2, atende o caixa \,2;
  • se o resto for \,3, atende o caixa \,3;
  • se o resto for \,4, atende o caixa \,4;
  • se o resto for \,0, atende o caixa \,5.
Breve explicação do resto: ao dividir \,n\, por \,5\, encontra-se um quociente inteiro q e um resto r tal que
n = 5\cdot q + r,
com r\in\{0,1,2,3,4\}. Esse r é exatamente o que usamos para mapear para o número do caixa (com a convenção que r=0 corresponde ao caixa \,5).

Passo 4

Aplicando ao caso \,n=68: vamos dividir \,68\, por \,5.
68 = 5\cdot 13 + 3.
Aqui o quociente inteiro é \,13\, e o resto é \,3.

Passo 5

Interpretação do resto segundo a tabela do Passo 3: como o resto é \,3\,, o cliente de número \,68\, será atendido pelo caixa correspondente ao resto \,3, ou seja, pelo caixa de número \,3.

Resposta

Caixa 3

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