Para agitar um líquido newtoniano de propriedades conhecidas ( \mu=0,2 Pa.s, \rho=946 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ), será empregado um impulsor de turbina de seis pás retas com \mathrm{H}_{p} / \mathrm{D}_{a}=0,125, em um tanque que tem características geométricas padrão, com quatro defletores. O diâmetro do impulsor é de 0,51 \mathrm{~m} e a frequência rotacional será de 100 rpm . Determine: (i) a potência adequada para o motor, sabendo que o conjunto do motor e o sistema de transmissão apresenta eficiência de 70 \%; (ii) as dimensões do tanque.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • (i) Determinar a potência adequada para o motor, considerando que o conjunto motor+transmissão tem eficiência de 70\%.
  • (ii) Determinar as dimensões do tanque (dimensões geométricas padrão) para o conjunto dado.
Informações fornecidas (vou listá‑las para ficar claro):
  • viscosidade dinâmica: \mu=0{,}2\\ \mathrm{Pa\cdot s},
  • densidade: \rho=946\\ \mathrm{kg/m^3},
  • impulsor: turbina com seis pás retas (padrão tipo Rushton/retas),
  • razão entre altura das pás e diâmetro do impulsor: \dfrac{H_p}{D_a}=0{,}125,
  • diâmetro do impulsor: D_a=0{,}51\\ \mathrm{m},
  • velocidade de rotação: 100\\ \mathrm{rpm},
  • tanque: características geométricas padrão, com quatro defletores (baffles),
  • eficiência do conjunto motor+transmissão: \eta=70\%=0{,}70.

Passo 2

Escolha do método e equações principais (sem resolver ainda, só explicando o que vamos usar):
  • Para potência absorvida por um impulsor em líquido newtoniano usa‑se frequentemente a correlação
P = N_P\,\rho\,N^3\,D_a^5,
onde:
  • P é a potência absorvida pelo fluido (em W),
  • N_P é o número de potência (power number) adimensional do impulsor,
  • \rho é a densidade do fluido ( \mathrm{kg/m^3}),
  • N é a velocidade de rotação em \mathrm{s^{-1}} (rotações por segundo),
  • D_a é o diâmetro do impulsor em \mathrm{m}.
  • Precisamos também avaliar o número de Reynolds do agitador para conhecer o regime (laminar, transição, turbulento). Para tanques agitadores usa‑se o Reynolds do agitador
\mathrm{Re} = \frac{\rho\,N\,D_a^2}{\mu}.
  • A potência do motor deve considerar a eficiência:
P_{\text{motor}}=\frac{P}{\eta}.
  • Para dimensões de tanque em “geometria padrão” e com quatro baffles usamos as recomendações usuais:
    • D_a/T = 1/3 (impulsor com diâmetro igual a um terço do diâmetro do tanque),
    • altura do líquido H = T (altura igual ao diâmetro do tanque),
    • folga da base (off‑bottom clearance) c = D_a/3,
    • e H_p calculada a partir de \dfrac{H_p}{D_a}=0{,}125.
      Vou aplicar essas regras, explicando e calculando cada número.

Passo 3

Converter a velocidade de rotação para \mathrm{s^{-1}}:
  • Dado \,100\\ \mathrm{rpm}. Uma rotação por minuto é \tfrac{1}{60}\\ \mathrm{s^{-1}}. Então
N=\frac{100}{60}= \frac{5}{3}\\ \mathrm{s^{-1}}\approx 1{,}6667\\ \mathrm{s^{-1}}.
Sempre converta para \mathrm{s^{-1}} porque a fórmula de potência usa N em \mathrm{s^{-1}}.

Passo 4

Calcular o número de Reynolds do agitador e interpretar o regime:
  • Fórmula:
\mathrm{Re}=\frac{\rho\,N\,D_a^2}{\mu}.
  • Substituindo os valores:
D_a^2 = (0{,}51)^2 = 0{,}2601\\ \mathrm{m^2},
\rho\,N\,D_a^2 = 946\times 1{,}6667\times 0{,}2601 \approx 410{,}0\\ (\mathrm{kg/(m\cdot s)}).
\mathrm{Re} \approx \frac{410{,}0}{0{,}2}=2050.
  • Interpretação: \mathrm{Re}\approx 2050 situa o sistema em região de transição entre laminar e turbulento (para agitadores tipicamente laminar extremo quando \mathrm{Re}\ll 10, turbulento completo quando \mathrm{Re}\gtrsim 10^4). Aqui estamos na faixa de transição, o que implica que o número de potência N_P não é perfeitamente constante como no regime turbulento, mas para engenharia prática com turbina de pás retas (tipo Rushton) costuma‑se usar um valor representativo de N_P da ordem de 4 a 6. Uma escolha típica e conservadora é N_P\approx 5. Vou justificar: o impulsor é de pás retas e temos quatro baffles (condição padrão), portanto usar N_P=5 é comum em exercícios e dá uma estimativa adequada. (Se estivéssemos exigindo altíssima precisão, usaríamos curvas N_P(\mathrm{Re}); mas para prova/estimativa, N_P=5 é aceitável.)

Passo 5

Calcular a potência absorvida pelo impulsor usando N_P=5:
  • Fórmula:
P = N_P\,\rho\,N^3\,D_a^5.
Vamos calcular passo a passo os termos numéricos:
N^3 = (1{,}6667)^3 \approx 4{,}6296.
D_a^5 = (0{,}51)^5.
Cálculo de D_a^5:
D_a^2=0{,}2601,\quad D_a^3=0{,}2601\times 0{,}51=0{,}132651,
D_a^4=0{,}132651\times 0{,}51\approx 0{,}067631,\quad D_a^5\approx 0{,}067631\times 0{,}51\approx 0{,}034497.
Agora o produto:
\rho\,N^3\,D_a^5 \approx 946\times 4{,}6296\times 0{,}034497 \approx 150{,}9\\ \mathrm{W}.
Finalmente, com N_P=5:
P = 5\times 150{,}9 \approx 754{,}5\\ \mathrm{W}.
Arredondando convenientemente: P\approx 755\\ \mathrm{W} (potência absorvida pelo impulsor).

Passo 6

Calcular a potência do motor considerando a eficiência ( \eta=0{,}70):
  • Fórmula:
P_{\text{motor}}=\frac{P}{\eta}=\frac{754{,}5\\ \mathrm{W}}{0{,}70}\approx 1077{,}9\\ \mathrm{W}.
Arredondando para valores práticos de motor:
P_{\text{motor}}\approx 1{,}08\\ \mathrm{kW}.
Observação: em seleção comercial de motor pode‑se escolher um motor padrão de 1{,}1\\ \mathrm{kW} ou 1{,}5\\ \mathrm{kW} dependendo de folgas de projeto, partida, segurança, mas calcularmos aqui o mínimo requerido.

Passo 7

Determinar as dimensões do tanque seguindo as recomendações padrão:
  • Usando D_a/T = 1/3:
T = 3\,D_a = 3\times 0{,}51 = 1{,}53\\ \mathrm{m}.
  • Altura do líquido (padrão): H=T:
H = 1{,}53\\ \mathrm{m}.
  • Folga da base (off‑bottom clearance) padrão c=D_a/3:
c=\frac{D_a}{3}=\frac{0{,}51}{3}=0{,}17\\ \mathrm{m}.
  • Altura das pás (dada pela razão): H_p = 0{,}125\,D_a:
H_p = 0{,}125\times 0{,}51 = 0{,}06375\\ \mathrm{m}\approx 0{,}0638\\ \mathrm{m}\\ (6{,}38\\ \mathrm{cm}).
  • Comentário: mantivemos as demais características padrão (quatro baffles, fundo plano). Essas dimensões são as usuais para um tanque baffled com impulsor de diâmetro 1/3 do tanque.

Passo 8

Resumo final dos valores calculados (já prontos para conferir ou usar na prova):
  • potência absorvida pelo impulsor P\approx 755\\ \mathrm{W},
  • potência do motor requerida (considerando \eta=70\%) P_{\text{motor}}\approx 1{,}08\\ \mathrm{kW},
  • dimensões do tanque (geometria padrão):
    • diâmetro do tanque T=1{,}53\\ \mathrm{m},
    • altura do líquido H=1{,}53\\ \mathrm{m},
    • folga da base c=0{,}17\\ \mathrm{m},
    • altura das pás H_p\approx 0{,}0638\\ \mathrm{m}.

Resposta

(i) P_{\text{motor}}\approx 1{,}08\\ \mathrm{kW}.
(ii) T=1{,}53\\ \mathrm{m},\\ H=1{,}53\\ \mathrm{m},\\ c=0{,}17\\ \mathrm{m},\\ H_p=0{,}0638\\ \mathrm{m}.

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