Uma corrente de 1000 \mathrm{kmols} / \mathrm{h} de uma mistura com 30 \% molar de n -hexano e 70 \% molar de n -octano é submetida à destilação numa coluna de estágios que dispõe de um estágio de equilíbrio, um refervedor parcial e um condensador parcial, todos esses dispositivos operando a 1,0 \mathrm{~atm}(101,3 \mathrm{kPa}). O n-hexano é o componente mais volátil, a alimentação, à temperatura do ponto de bolha, é feita no reboiler e o refluxo na condição de líquido saturado retorna do condensador parcial para o prato de topo. O vapor destilado que vai para o condensador total, contém 80 \%, molar de hexano, e a razão de refluxo é igual a 2 . Assumir que o reboiler, prato e condensador parcial são estágios de equilíbrio.
Se a volatilidade relativa média \alpha for igual a 5,0 (rigorosamente a volatilidade varia de 4,3 no reboiler a 6,0 no condensador), calcular:
a. Utilizando o procedimento de McCabe-Thiele, a composição do produto de fundo da coluna e a taxa de destilado produzido em kmols/h
b. Analiticamente a composição do produto de fundo da coluna

Passo 1

O enunciado dá as informações e pede o seguinte:
  • Dado: vazão de alimentação F=1000\\ \mathrm{kmol/h} com composição molar de hexano z_F=0,30.
  • Dado: destilado (produto de topo) tem composição molar de hexano x_D=0,80.
  • Dado: razão de refluxo R=2 (isto é, L/D=2).
  • Dado: volatilidade relativa média \alpha=5{,}0 (usar valor constante \alpha=5{,}0).
  • Dado: alimentação no ponto de bolha e entra no refervedor; o refervedor, o prato e o condensador parcial são estágios de equilíbrio (no total são três estágios de equilíbrio: condensador parcial, 1 prato, refervedor).
  • O que pedir:
    a) Usando o procedimento de McCabe–Thiele: calcular a composição do produto de fundo (fundo = corrente líquida que sai do refervedor) e a taxa de destilado produzido D em \mathrm{kmol/h}.
    b) Calcular analiticamente a composição do produto de fundo (isto é, obter a expressão/valor por desenvolvimento algébrico).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas devagar):
  • Equilíbrio vapor–líquido para mistura binária com volatilidade relativa constante \alpha. A fórmula relaciona fração molar no vapor \,y com fração molar no líquido \,x:
y = \frac{\alpha\,x}{1+(\alpha-1)\,x}.
Explicação: \alpha é a razão das constantes de equilíbrio (K) dos dois componentes; para constância de \alpha essa fórmula dá a curva de equilíbrio y versus x. Aqui x é fração molar do componente mais volátil (hexano) na fase líquida e y a fração molar na fase vapor.
  • Reta de operação na seção rectificadora (operating line), obtida assumindo fluxo molar constante e refluxo R:
y = \frac{R}{R+1}\,x + \frac{x_D}{R+1}.
Explicação: essa equação vem do balanço de componentes em uma seção acima do ponto de retirada do destilado, sob hipótese de fluxo molar constante; x_D é a composição do destilado (líquido do condensador total).
  • No procedimento de McCabe–Thiele, parte-se de x_D e faz-se “degraus” alternando:
    1. um movimento horizontal até a curva de equilíbrio y=y(x) (isso representa o equilíbrio do estágio),
    2. um movimento vertical até a reta de operação (isso representa o balanço no estágio).
      Cada “degrau” horizontal+vertical corresponde a um estágio teórico (quando contamos o condensador parcial e o refervedor como estágios, cada cruzamento horizontal corresponde a um estágio). No nosso problema há 3 estágios de equilíbrio (condensador parcial, 1 prato, refervedor), portanto precisamos de 3 horizontais para chegar à composição do fundo.

Passo 3

Calcular constantes numéricas a partir dos dados:
  • x_D = 0{,}80 = \dfrac{4}{5}.
  • R = 2 \Rightarrow \dfrac{R}{R+1} = \dfrac{2}{3} e \dfrac{x_D}{R+1} = \dfrac{0{,}8}{3} = \dfrac{4}{15}.
  • Assim a reta de operação é
y = \frac{2}{3}\,x + \frac{4}{15}.
  • A função inversa da curva de equilíbrio (isto é, dado y, achar x) pode ser obtida isolando x em \displaystyle y=\frac{\alpha x}{1+(\alpha-1)x}. Fazendo isso obtemos:
x = \frac{y}{\alpha - y(\alpha-1)}.
Isto é útil para o passo horizontal: dado um valor de y (horizontal), encontramos o x que satisfaz o equilíbrio.

Passo 4

Construção da iteração (função que representa um degrau McCabe–Thiele):
  • Uma passada horizontal usa y vindo da reta (ou do valor inicial); uma passada vertical usa a reta de operação. Podemos combinar os dois passos numa única função \varphi(x) que leva a fração líquida x em um estágio para a fração líquida do estágio imediatamente abaixo (o mapeamento usado ao executar os degraus repetidamente):
    Primeiro aplicamos a reta de operação a um x (vertical): y = \dfrac{2}{3}x + \dfrac{4}{15}.
    Depois aplicamos a inversa da curva de equilíbrio para obter novo x:
\varphi(x)=\frac{\dfrac{2}{3}x+\dfrac{4}{15}}{\alpha - 4\left(\dfrac{2}{3}x+\dfrac{4}{15}\right)} \quad\text{com}\quad \alpha=5.
  • Simplificando numericamente essa expressão (fazendo redução de frações) obtemos uma forma racional simples. Multiplicando numerador e denominador por 15:
\varphi(x)=\frac{10x+4}{59-40x}.
Explicação rápida: isso junta o passo vertical (reta de operação) e o passo horizontal (equilíbrio) em um único mapeamento; aplicar \varphi sucessivas vezes é o mesmo que executar os degraus do McCabe–Thiele.

Passo 5

Aplicando a iteração \varphi(x) a partir de x_0=x_D por 3 horizontais (há 3 estágios: condensador parcial, prato, refervedor) para obter x_B:
  • Começo: x_0 = x_D = \dfrac{4}{5}.
  • Primeiro degrau:
x_1=\varphi\!\left(\frac{4}{5}\right)=\frac{10\cdot\frac{4}{5}+4}{59-40\cdot\frac{4}{5}} =\frac{8+4}{59-32}=\frac{12}{27}=\frac{4}{9}\approx 0{,}444444.
  • Segundo degrau:
x_2=\varphi\!\left(\frac{4}{9}\right)=\frac{10\cdot\frac{4}{9}+4}{59-40\cdot\frac{4}{9}} =\frac{\tfrac{40}{9}+\tfrac{36}{9}}{\tfrac{531}{9}-\tfrac{160}{9}} =\frac{76/9}{371/9}=\frac{76}{371}\approx 0{,}204800.
  • Terceiro degrau (chegamos ao fundo):
x_3=\varphi\!\left(\frac{76}{371}\right) =\frac{10\cdot\frac{76}{371}+4}{59-40\cdot\frac{76}{371}} =\frac{\tfrac{760}{371}+\tfrac{1484}{371}}{\tfrac{21889}{371}-\tfrac{3040}{371}} =\frac{2244/371}{18849/371}=\frac{2244}{18849}\approx 0{,}119105.
Portanto a composição do fundo obtida pelo procedimento de McCabe–Thiele (3 horizontais) é
x_B \approx 0{,}119105\quad(\text{fração molar de hexano no fundo}).çã

Passo 6

Cálculo da vazão de destilado D por balanço de massa total e de componente (hexano):
  • Balanço total: F = D + B.
  • Balanço de componente (hexano): F z_F = D x_D + B x_B.
Eliminando B ( B=F-D) obtemos:
F z_F = D x_D + (F-D)x_B \quad\Rightarrow\quad D (x_D-x_B) = F(z_F-x_B).
Assim:
D = F\,\frac{z_F-x_B}{x_D-x_B}.
Substituindo valores ( F=1000, z_F=0{,}30, x_D=0{,}80, x_B\approx 0{,}119105):
D = 1000\cdot\frac{0{,}30-0{,}119105}{0{,}80-0{,}119105} =1000\cdot\frac{0{,}180895}{0{,}680895}\approx 265{,}67\\ \mathrm{kmol/h}.
E o fundo:
B = F - D \approx 1000 - 265{,}67 = 734{,}33\\ \mathrm{kmol/h}.

Passo 7

Resposta analítica (mostrando que o resultado do Passo 5 é uma expressão algébrica fechada):
  • Relembrando a forma racional para o mapeamento:
\varphi(x)=\frac{10x+4}{59-40x}.
  • Aplicando \varphi três vezes a x_D=\dfrac{4}{5} obtemos exatamente (ver contas do Passo 5):
x_B=\varphi^3\!\left(\frac{4}{5}\right)=\frac{2244}{18849}\approx 0{,}119105.
Isto é a expressão analítica exata para x_B sob as hipóteses adotadas (volatilidade constante \alpha=5, R=2, 3 estágios de equilíbrio contando condensador parcial e refervedor).

Resposta

(a) x_B\approx 0{,}119105 (fração molar de hexano no fundo) ; D\approx 265{,}67\\ \mathrm{kmol/h}\n
(b) x_B=\dfrac{2244}{18849}\approx 0{,}119105

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