Um moinho consome 30 kW para reduzir o tamanho de determinado material de 3 mm para 1 mm a uma vazão mássica de 130 \mathrm{ton} / \mathrm{h}. Determine qual será a energia específica requerida pelo mesmo moinho para reduzir o mesmo material de 1 mm para 0,5 \mathrm{~mm} a uma vazão de 100 \mathrm{ton} / \mathrm{h}, considerando a Lei de Rittinger. Verifique se a potência do motor instalado é adequada para essa nova condição.

Passo 1

O problema pede duas coisas: (1) calcular a energia específica requerida pelo moinho para reduzir o material de \,1\\ \mathrm{mm}\, para \,0{,}5\\ \mathrm{mm}\, à vazão de \,100\\ \mathrm{ton/h}\,; (2) verificar se a potência do motor instalado (informada implicitamente pelo primeiro caso) é adequada para essa nova condição.
Dados fornecidos (vou listar tudo para não nos perder):
\,P_1 = 30\\ \mathrm{kW}\, (potência consumida no caso inicial)
\,d_{1,\text{inicial}} = 3\\ \mathrm{mm}\, (tamanho antes da redução no caso inicial)
\,d_{2,\text{inicial}} = 1\\ \mathrm{mm}\, (tamanho depois da redução no caso inicial)
\,\dot{m}_1 = 130\\ \mathrm{ton/h}\, (vazão mássica no caso inicial)
\,d_{1,\text{novo}} = 1\\ \mathrm{mm}\, (tamanho antes da redução no novo caso)
\,d_{2,\text{novo}} = 0{,}5\\ \mathrm{mm}\, (tamanho depois da redução no novo caso)
\,\dot{m}_2 = 100\\ \mathrm{ton/h}\, (vazão mássica no novo caso)
Vou usar esses dados sem pedir nada mais. Agora seguimos passo a passo com a teoria e as contas.

Passo 2

O modelo pedido é a Lei de Rittinger. Explico o que isso significa e a fórmula que usaremos, devagarinho:
  • A Lei de Rittinger diz que a energia específica (energia por unidade de massa) necessária para moer um material é proporcional ao aumento da área de superfície. Para partículas aproximadamente esféricas a área específica é proporcional a 1/d, onde d é um tamanho característico (diâmetro médio).
  • Portanto, a forma prática da Lei de Rittinger que usaremos é:
e = k_R\!\left(\frac{1}{d_{\text{final}}}-\frac{1}{d_{\text{inicial}}}\right)
onde:
  • e é a energia específica (em \mathrm{J/kg}), ou seja, a energia necessária para reduzir 1 kg de material daquele tamanho inicial para o final;
  • k_R é a constante de Rittinger (unidades: \mathrm{J\cdot m/kg});
  • d_{\text{inicial}} e d_{\text{final}} são os tamanhos característicos em metros ( \mathrm{m}).
Essa fórmula é linear na diferença dos inversos dos diâmetros; por isso é crucial usar a mesma unidade de comprimento em todo o cálculo (vou usar metros).

Passo 3

Convertemos as grandezas do caso inicial para o SI e calculamos a vazão mássica em \mathrm{kg/s}:
\dot{m}_1 = 130\\ \mathrm{ton/h} = 130000\\ \mathrm{kg/h} = \frac{130000}{3600}\\ \mathrm{kg/s} = 36{,}111\\ \mathrm{kg/s}.
Também convertemos os diâmetros para metros (para usar na fórmula de Rittinger):
d_{1,\text{inicial}} = 3\\ \mathrm{mm} = 0{,}003\\ \mathrm{m},
d_{2,\text{inicial}} = 1\\ \mathrm{mm} = 0{,}001\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calculamos a energia específica efetiva no caso inicial a partir da potência e da vazão: a potência é energia por tempo; a energia específica e_1 (J/kg) satisfaz P_1 = \dot{m}_1 \, e_1. Portanto:
e_1 = \frac{P_1}{\dot{m}_1} = \frac{30000\\ \mathrm{W}}{36{,}111\\ \mathrm{kg/s}} = 830{,}77\\ \mathrm{J/kg}.
Explicando: dividi a potência (W = J/s) pela vazão em \mathrm{kg/s} para obter J/kg, que é exatamente energia por massa.

Passo 5

Usamos a Lei de Rittinger para encontrar a constante k_R a partir do caso inicial. Reorganizando a fórmula:
k_R = \frac{e_1}{\dfrac{1}{d_{2,\text{inicial}}}-\dfrac{1}{d_{1,\text{inicial}}}}.
Substituindo números (tudo em metros):
\frac{1}{d_{2,\text{inicial}}}-\frac{1}{d_{1,\text{inicial}}}=\frac{1}{0{,}001}-\frac{1}{0{,}003}=1000-333{,}333\ldots=666{,}666\ldots\\ \mathrm{m^{-1}}.
Então
k_R = \frac{830{,}77}{666{,}666\ldots}=1{,}24615\\ \mathrm{J\cdot m/kg}.
Interpretação: essa constante é característica do material e do processo (no modelo ideal de Rittinger) e agora podemos reutilizá-la para o novo caso.

Passo 6

Passamos ao novo caso (redução de \,1\\ \mathrm{mm} para \,0{,}5\\ \mathrm{mm}\,). Primeiro convertemos os diâmetros para metros:
d_{1,\text{novo}} = 1\\ \mathrm{mm} = 0{,}001\\ \mathrm{m},
d_{2,\text{novo}} = 0{,}5\\ \mathrm{mm} = 0{,}0005\\ \mathrm{m}.
Aplicamos Rittinger para obter a nova energia específica e_2:
e_2 = k_R\!\left(\frac{1}{d_{2,\text{novo}}}-\frac{1}{d_{1,\text{novo}}}\right).
Calcule o parêntese:
\frac{1}{d_{2,\text{novo}}}-\frac{1}{d_{1,\text{novo}}}=\frac{1}{0{,}0005}-\frac{1}{0{,}001}=2000-1000=1000\\ \mathrm{m^{-1}}.
Portanto
e_2 = 1{,}24615\times 1000 = 1246{,}15\\ \mathrm{J/kg}.
Explicação: a energia específica aumentou porque estamos gerando mais área relativa (diâmetro menor).

Passo 7

Convertendo a vazão do novo caso para \mathrm{kg/s}:
\dot{m}_2 = 100\\ \mathrm{ton/h} = 100000\\ \mathrm{kg/h} = \frac{100000}{3600}\\ \mathrm{kg/s} = 27{,}778\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 8

Agora calculamos a potência necessária para esse novo caso: P_2 = \dot{m}_2 \, e_2. Substituindo:
P_2 = 27{,}778\\ \mathrm{kg/s}\times 1246{,}15\\ \mathrm{J/kg} = 34615{,}38\\ \mathrm{W} \approx 34{,}62\\ \mathrm{kW}.
Interpretação: o moinho agora precisa de cerca de 34{,}62\\ \mathrm{kW} para processar 100\\ \mathrm{ton/h} reduzindo de 1\\ \mathrm{mm} para 0{,}5\\ \mathrm{mm}, segundo Rittinger.

Passo 9

Comparação com a potência instalada: o caso inicial usava um motor que entregava (na prática) 30\\ \mathrm{kW} para processar 130\\ \mathrm{ton/h} de 3\\ \mathrm{mm}\to1\\ \mathrm{mm}. Para a nova condição calculamos P_2\approx 34{,}62\\ \mathrm{kW}. Conclusão direta:
  • 34{,}62\\ \mathrm{kW} > 30\\ \mathrm{kW}, logo o motor instalado de 30\\ \mathrm{kW} não é adequado para atender a nova condição (faltam cerca de 4{,}62\\ \mathrm{kW} de potência útil).
    Observação prática (breve): na prática ainda haveria eficiências, perdas e segurança (fator de serviço), então a potência nominal requerida seria ainda maior que o valor ideal calculado; portanto a troca ou upgrade do motor seria recomendada.

Resposta

Energia específica requerida: 1246{,}15\\ \mathrm{J/kg}
Potência requerida: 34{,}62\\ \mathrm{kW} — Não, o motor instalado de 30\\ \mathrm{kW} não é adequado.

Exercícios relacionados