Um moinho consome 30 kW para reduzir o tamanho de determinado material de 3 mm para 1 mm a uma vazão mássica de
. Determine qual será a energia específica requerida pelo mesmo moinho para reduzir o mesmo material de 1 mm para
a uma vazão de
, considerando a Lei de Rittinger. Verifique se a potência do motor instalado é adequada para essa nova condição.
Passo 1
O problema pede duas coisas: (1) calcular a energia específica requerida pelo moinho para reduzir o material de
para
à vazão de
; (2) verificar se a potência do motor instalado (informada implicitamente pelo primeiro caso) é adequada para essa nova condição.
Dados fornecidos (vou listar tudo para não nos perder):
(potência consumida no caso inicial)
(tamanho antes da redução no caso inicial)
(tamanho depois da redução no caso inicial)
(vazão mássica no caso inicial)
(tamanho antes da redução no novo caso)
(tamanho depois da redução no novo caso)
(vazão mássica no novo caso)
Dados fornecidos (vou listar tudo para não nos perder):
Vou usar esses dados sem pedir nada mais. Agora seguimos passo a passo com a teoria e as contas.
Passo 2
O modelo pedido é a Lei de Rittinger. Explico o que isso significa e a fórmula que usaremos, devagarinho:
- A Lei de Rittinger diz que a energia específica (energia por unidade de massa) necessária para moer um material é proporcional ao aumento da área de superfície. Para partículas aproximadamente esféricas a área específica é proporcional a
, onde é um tamanho característico (diâmetro médio). - Portanto, a forma prática da Lei de Rittinger que usaremos é:
onde:
-
é a energia específica (em ), ou seja, a energia necessária para reduzir 1 kg de material daquele tamanho inicial para o final; -
é a constante de Rittinger (unidades: ); -
e são os tamanhos característicos em metros ( ).
Essa fórmula é linear na diferença dos inversos dos diâmetros; por isso é crucial usar a mesma unidade de comprimento em todo o cálculo (vou usar metros).
Passo 3
Convertemos as grandezas do caso inicial para o SI e calculamos a vazão mássica em
:
Também convertemos os diâmetros para metros (para usar na fórmula de Rittinger):
Passo 4
Calculamos a energia específica efetiva no caso inicial a partir da potência e da vazão: a potência é energia por tempo; a energia específica
(J/kg) satisfaz
. Portanto:
Explicando: dividi a potência (W = J/s) pela vazão em
para obter J/kg, que é exatamente energia por massa.
Passo 5
Usamos a Lei de Rittinger para encontrar a constante
a partir do caso inicial. Reorganizando a fórmula:
Substituindo números (tudo em metros):
Então
Interpretação: essa constante é característica do material e do processo (no modelo ideal de Rittinger) e agora podemos reutilizá-la para o novo caso.
Passo 6
Passamos ao novo caso (redução de
para
). Primeiro convertemos os diâmetros para metros:
Aplicamos Rittinger para obter a nova energia específica
:
Calcule o parêntese:
Portanto
Explicação: a energia específica aumentou porque estamos gerando mais área relativa (diâmetro menor).
Passo 7
Convertendo a vazão do novo caso para
:
Passo 8
Agora calculamos a potência necessária para esse novo caso:
. Substituindo:
Interpretação: o moinho agora precisa de cerca de
para processar
reduzindo de
para
, segundo Rittinger.
Passo 9
Comparação com a potência instalada: o caso inicial usava um motor que entregava (na prática)
para processar
de
. Para a nova condição calculamos
. Conclusão direta:
-
, logo o motor instalado de não é adequado para atender a nova condição (faltam cerca de de potência útil).
Observação prática (breve): na prática ainda haveria eficiências, perdas e segurança (fator de serviço), então a potência nominal requerida seria ainda maior que o valor ideal calculado; portanto a troca ou upgrade do motor seria recomendada.
Resposta
Energia específica requerida:
Potência requerida: — Não, o motor instalado de
não é adequado.
Potência requerida: