Agora, considere o pêndulo amortecido, com constante de amortecimento
:
Novamente, reescreva o sistema usando a representação em espaço de estados, com entrada nula e duas saídas: a posição
e a velocidade angular
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre um pêndulo amortecido, que é aquele que sofre resistência, como se tivesse ar ou algum tipo de atrito. A equação que descreve esse sistema é:
Aqui,
é a posição angular,
é a constante de amortecimento, e os pontos acima das letras indicam derivadas em relação ao tempo. Nosso objetivo é reescrever essa equação usando a representação em espaço de estados. Para isso, precisamos entender o que é espaço de estados e como transformar essa equação diferencial de segunda ordem em um sistema de equações de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é representação em espaço de estados. Basicamente, é uma forma de representar sistemas dinâmicos usando um conjunto de equações de primeira ordem. Isso é útil porque facilita a análise e o controle de sistemas complexos.
No nosso caso, temos uma equação de segunda ordem:
Para transformar isso em espaço de estados, precisamos definir variáveis de estado que representem o sistema. Geralmente, escolhemos as variáveis que descrevem o estado completo do sistema em qualquer instante de tempo.
Passo 3
Vamos definir duas variáveis de estado:
-
(a posição angular) -
(a velocidade angular)
Com essas definições, conseguimos expressar o sistema em termos de
e
.
Passo 4
Agora, vamos reescrever a equação original usando essas variáveis de estado. Sabemos que:
Essa é a primeira equação do nosso sistema. Agora, precisamos encontrar
. Vamos reorganizar a equação original:
Como
, temos:
Passo 5
Com isso, conseguimos expressar o sistema em espaço de estados. Além disso, o enunciado pede que tenhamos duas saídas: a posição
e a velocidade angular
. Como não há entrada no sistema (entrada nula), podemos representar as saídas diretamente como as próprias variáveis de estado.
Resposta
A representação em espaço de estados do pêndulo amortecido é:
Onde:
-
representa a posição angular ( ), -
representa a velocidade angular ( ), -
e são as saídas correspondentes a e , respectivamente.