Agora, considere o pêndulo amortecido, com constante de amortecimento b>0:
ddottheta+b dottheta+sin theta=0
Novamente, reescreva o sistema usando a representação em espaço de estados, com entrada nula e duas saídas: a posição (x1) e a velocidade angular (x2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre um pêndulo amortecido, que é aquele que sofre resistência, como se tivesse ar ou algum tipo de atrito. A equação que descreve esse sistema é:
ddottheta + b dottheta + sin theta = 0
Aqui, é a posição angular, é a constante de amortecimento, e os pontos acima das letras indicam derivadas em relação ao tempo. Nosso objetivo é reescrever essa equação usando a representação em espaço de estados. Para isso, precisamos entender o que é espaço de estados e como transformar essa equação diferencial de segunda ordem em um sistema de equações de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é representação em espaço de estados. Basicamente, é uma forma de representar sistemas dinâmicos usando um conjunto de equações de primeira ordem. Isso é útil porque facilita a análise e o controle de sistemas complexos.
No nosso caso, temos uma equação de segunda ordem:
ddottheta + b dottheta + sin theta = 0
Para transformar isso em espaço de estados, precisamos definir variáveis de estado que representem o sistema. Geralmente, escolhemos as variáveis que descrevem o estado completo do sistema em qualquer instante de tempo.

Passo 3

Vamos definir duas variáveis de estado:
  • (a posição angular)
  • (a velocidade angular)
Com essas definições, conseguimos expressar o sistema em termos de e .

Passo 4

Agora, vamos reescrever a equação original usando essas variáveis de estado. Sabemos que:
dotx1 = ddtx1 = dottheta = x2
Essa é a primeira equação do nosso sistema. Agora, precisamos encontrar ddottheta = -b dottheta - sin theta . Vamos reorganizar a equação original:
dotx2 = -b x2 - sin x1
Como , temos:

Passo 5

Com isso, conseguimos expressar o sistema em espaço de estados. Além disso, o enunciado pede que tenhamos duas saídas: a posição e a velocidade angular . Como não há entrada no sistema (entrada nula), podemos representar as saídas diretamente como as próprias variáveis de estado.

Resposta

A representação em espaço de estados do pêndulo amortecido é:
dotx1 = x2 dotx2 = -b x2 - sin x1 y1 = x1 y2 = x2
Onde:
  • representa a posição angular ( ),
  • representa a velocidade angular ( ),
  • e são as saídas correspondentes a e , respectivamente.

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