Calcule a Transformada de Fourier para obter H(omega) a partir de h(t), abaixo: (Valor da questäo =4,0 )
h(t)=l t+1 para -1
Identidades de Euler:
c sen theta=e^j 0-e^-j 0j 2 cos theta=e^j theta+e^-j theta2 e^j omega=cos omega+j sen omega
Transformada de Laplace:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformada de Fourier! A gente tem uma função definida por partes e precisa encontrar a sua Transformada de Fourier, ou seja, . Para fazer isso, vamos precisar usar a definição da Transformada de Fourier e integrar a função multiplicada por sobre todo o intervalo onde está definida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da definição da Transformada de Fourier. A Transformada de Fourier de uma função H(omega) = integral-infty^infty h(t) e^-jomega t dt é dada por:
H(omega) = integral-1^1 h(t) e^-jomega t dt
Como a nossa função é definida apenas entre e , podemos limitar a integral a esse intervalo:
Mas como é uma função definida por partes, vamos separar a integral em duas partes: de a e de a .

Passo 3

Vamos dividir a integral:
H(omega) = integral-1^0 (t + 1) e^-jomega t dt + integral0^1 (-t + 1) e^-jomega t dt
Agora, vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 4

Primeira integral: integral-1^0 t e^-jomega t dt + integral-1^0 e^-jomega t dt
Vamos expandir uv - integral v du = t cdot ( e^-jomega t-jomega ) - integral e^-jomega t-jomega dt :
Resolvendo cada parte:
Para , usamos integração por partes. Seja e . Então, e .
Aplicando integração por partes:
Integrando e aplicando os limites de a , obtemos o resultado da primeira parte.
Para , a solução é , avaliando de a .

Passo 5

Segunda integral: integral0^1 -t e^-jomega t dt + integral0^1 e^-jomega t dt
Da mesma forma, vamos separar a integral:
Para , novamente usamos integração por partes, com e . Procedemos como na etapa anterior.
Para , a solução é , avaliando de a .

Passo 6

Após resolver todas as integrais e simplificar os termos, vamos juntar os resultados das duas partes para obter .
Isso envolverá combinar os termos exponenciais e os fatores de que aparecem nos denominadores após a integração.

Resposta

Finalmente, a Transformada de Fourier H(omega) = 2 sin(omega)omega^2 + 2j (1 - cos(omega))omega da função é:

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