Calcule a Transformada de Fourier para obter
a partir de
, abaixo: (Valor da questäo
)
Identidades de Euler:
Transformada de Laplace:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformada de Fourier! A gente tem uma função
definida por partes e precisa encontrar a sua Transformada de Fourier, ou seja,
. Para fazer isso, vamos precisar usar a definição da Transformada de Fourier e integrar a função
multiplicada por
sobre todo o intervalo onde
está definida.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da definição da Transformada de Fourier. A Transformada de Fourier de uma função
é dada por:
Como a nossa função
é definida apenas entre
e
, podemos limitar a integral a esse intervalo:
Mas como
é uma função definida por partes, vamos separar a integral em duas partes: de
a
e de
a
.
Passo 3
Vamos dividir a integral:
Agora, vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
Passo 4
Primeira integral:
Vamos expandir
:
Resolvendo cada parte:
Para
, usamos integração por partes. Seja
e
. Então,
e
.
Aplicando integração por partes:
Integrando e aplicando os limites de
a
, obtemos o resultado da primeira parte.
Para
, a solução é
, avaliando de
a
.
Passo 5
Segunda integral:
Da mesma forma, vamos separar a integral:
Para
, novamente usamos integração por partes, com
e
. Procedemos como na etapa anterior.
Para
, a solução é
, avaliando de
a
.
Passo 6
Após resolver todas as integrais e simplificar os termos, vamos juntar os resultados das duas partes para obter
.
Isso envolverá combinar os termos exponenciais e os fatores de
que aparecem nos denominadores após a integração.
Resposta
Finalmente, a Transformada de Fourier
da função
é: