A equação diferencial ordinária de um sistema é:
2 d^2 yd t^2+22 d yd t+60 y=d ud t+u
e o sinal de entrada do sistema, u(t) é gerado a partir de y(t) e de uma referência externa r(t) como:
u(t)=k[r(t)-y(t)]
E a transformada de Laplace de r(t) é 1s.
Esse sistema é estável para:
qualquer k real.
k>-22
k>-60
k<2

Passo 1

Beleza! Vamos ver qual é a parada aqui. Temos uma equação diferencial de um sistema que envolve derivadas de segunda e primeira ordem, além de termos um sinal de entrada $ u(t) $ que depende de $ y(t) $ e de uma referência externa $ r(t) $. O nosso objetivo é descobrir para quais valores de $ k $ esse sistema é estável. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais, transformada de Laplace e estabilidade de sistemas. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o sistema ser estável. Basicamente, um sistema é estável se, quando submetido a uma perturbação, ele retorna ao seu estado de equilíbrio sem oscilações infinitas ou crescimento descontrolado. Para verificar isso, vamos analisar os polos do sistema, que são as raízes da equação característica da equação diferencial.

Passo 3

Vamos começar substituindo a expressão de $ u(t) $ na equação diferencial. A equação dada é:
u(t)
E sabemos que:
2 d^2 yd t^2 + 22 d yd t + 60 y = d ud t + u
Vamos derivar $ u(t) $:
u(t) = k [r(t) - y(t)]
Substituindo de volta na equação diferencial:
u(t)

Passo 4

Agora, vamos reorganizar os termos para reunir os termos que envolvem $ y(t) $ de um lado e os termos que envolvem $ r(t) $ do outro:
y(t)
Simplificando:
r(t)

Passo 5

Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace em toda a equação. Lembrando que a transformada de $ \frac{d y}{d t} $ é $ s Y(s) - y(0) $ e $ \frac{d^{2} y}{d t^{2}} $ é $ s^{2} Y(s) - s y(0) - y’(0) $. Supondo condições iniciais nulas ( $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 0 $ ) para simplificar:
d yd t
Sabemos que a transformada de Laplace de $ r(t) $ é $ \frac{1}{s} $, então $ R(s) = \frac{1}{s} $:
s Y(s) - y(0)
Simplificando o lado direito:
d^2 yd t^2

Passo 6

Vamos isolar $ Y(s) $:
Y(s)
Multiplicando ambos os lados por $ s $ para eliminar o denominador:
Y(s) ( 2 s^2 + (22 + k) s + (60 + k) ) = k + ks

Passo 7

Agora, para encontrar a equação característica, ignoramos o lado direito que envolve a entrada $ r(t) $ e focamos nos coeficientes de $ Y(s) $:
r(t)
Essa é a nossa equação característica. As raízes dessa equação (os polos do sistema) determinarão a estabilidade.

Passo 8

Para que o sistema seja estável, todas as raízes da equação característica devem ter partes reais negativas. Vamos aplicar o critério de estabilidade de Hurwitz para uma equação do segundo grau $ a s^{2} + b s + c = 0 $:
  1. $ a > 0 $
  2. $ b > 0 $
  3. $ c > 0 $
  4. $ b c > a c $ (mais simplificadamente, $ b c > a c $ já está garantido se os anteriores forem verdadeiros)
Aplicando isso à nossa equação:
  1. $ 2 > 0 $ ✔️
  2. $ 22 + k > 0 $ ⟹ $ k > -22 $
  3. $ 60 + k > 0 $ ⟹ $ k > -60 $
O critério nos diz que $ k $ deve ser maior que a s^2 + b s + c = 0 para garantir a estabilidade, já que $ k > -60 $ é automaticamente cumprido se $ k > -22 $.

Resposta

O sistema é estável para qualquer valor de $ k $ maior que k . Ou seja, $ k > -22 $.

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