Agora considere uma viagem de ida e volta a Marte. Suponha que o procedimento de transferência de Hohmann é utilizado tanto para a ida como para a volta. Qual é o tempo mínimo necessário esperar em Marte até começar a viagem de volta? Qual é a duração total mínima da viagem? Procure os dados necessários em livros ou na internet.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma viagem de ida e volta para Marte usando a transferência de Hohmann. A transferência de Hohmann é um método eficiente para mover uma espaçonave entre duas órbitas planetárias usando duas manobras de propulsão. Para resolver isso, vamos precisar entender essa transferência, calcular os tempos de ida e volta, e descobrir quanto tempo devemos esperar em Marte antes de começar a viagem de volta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma transferência de Hohmann. É um tipo de órbita elíptica que conecta duas órbitas circulares ao redor de um mesmo corpo central, como o Sol. No nosso caso, estamos indo da órbita da Terra para a de Marte. Essa transferência usa o mínimo de combustível possível, mas leva um tempo específico para ser concluída.
Passo 3
Para calcular o tempo de transferência, precisamos das distâncias das órbitas da Terra e de Marte em relação ao Sol. A Terra está a aproximadamente 1 Unidade Astronômica (UA) do Sol, e Marte está a cerca de 1,524 UA. A fórmula para o período de uma órbita elíptica é baseada na terceira lei de Kepler:
Onde:
- $ T $ é o período orbital,
- $ a $ é o semi-eixo maior da órbita,
- $ \mu $ é a constante gravitacional do Sol.
Passo 4
Para uma transferência de Hohmann entre a Terra e Marte, o semi-eixo maior $ a $ é a média das distâncias das duas órbitas:
Usando a fórmula do período, e sabendo que o período da Terra é 1 ano, podemos calcular o tempo de transferência:
Mas geralmente, consideramos que a transferência de ida leva cerca de 259 dias.
Passo 5
Agora, para a viagem de volta, precisamos esperar pela janela de lançamento que ocorre quando Marte está na posição correta em sua órbita para que a transferência de Hohmann de volta à Terra seja possível. Esse tempo de espera é conhecido como período sinódico.
A fórmula para o período sinódico $ S $ entre dois planetas é:
Sabendo que $ T_{Terra} = 1 $ ano e $ T_{Marte} \approx 1,88 $ anos:
Então, o tempo mínimo para esperar em Marte antes de voltar é aproximadamente 2,13 anos.
Passo 6
Finalmente, para calcular a duração total mínima da viagem, somamos o tempo de ida, o tempo de espera em Marte e o tempo de volta:
Resposta
O tempo mínimo necessário para esperar em Marte antes de iniciar a viagem de volta é de aproximadamente 2,13 anos. A duração total mínima da viagem de ida e volta utilizando a transferência de Hohmann é de cerca de 3,55 anos.