Um satélite de massa M se move com velocidade de módulo v em uma órbita circular de raio R em torno da Terra. Qual deve ser a nova velocidade do satélite para que ele se mova em uma órbita elíptica com semi-eixo menor R e semi-eixo maior 2 R ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um satélite de massa M que está orbitando a Terra numa trajetória circular com raio R e velocidade v. A pergunta é: qual a nova velocidade que o satélite precisa ter para mudar sua órbita para uma elíptica, onde o semi-eixo menor é R e o semi-eixo maior é 2R? Vamos precisar entender um pouco sobre órbitas circulares e elípticas, além das leis de Kepler e da conservação da energia e do momento angular para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a velocidade de um satélite em órbita circular. A velocidade v é dada por:
v = raizG MER
onde G é a constante gravitacional e ME é a massa da Terra.

Passo 3

Agora, queremos uma órbita elíptica com semi-eixo menor a = R e semi-eixo maior b = 2R. Mas, na verdade, em uma elipse, os semi-eixos são definidos de outra forma. A relação correta é que o semi-eixo maior é a = 2R e o semi-eixo menor b = R.

Passo 4

Para uma órbita elíptica, a velocidade no ponto mais próximo (periélio) é maior que em uma órbita circular. A velocidade no periélio vp pode ser calculada usando a fórmula:
vp = raizG ME (1 + e)a (1 - e)
onde e é a excentricidade da elipse.

Passo 5

Primeiro, vamos encontrar a excentricidade e da nossa elipse. Sabemos que:
b = a raiz1 - e^2
Substituindo a = 2R e b = R:
R = 2R raiz1 - e^2 12 = raiz1 - e^2 14 = 1 - e^2 e^2 = 34 e = raiz32

Passo 6

Agora que temos e = raiz32 e a = 2R, vamos calcular a velocidade no periélio usando a fórmula anterior:
vp = raizG ME (1 + raiz32)2R (1 - raiz32) vp = raizG ME (2 + raiz32)2R (2 - raiz32) vp = raizG ME (2 + raiz3)4R (2 - raiz3)

Passo 7

Vamos simplificar a expressão:
vp = raizG ME (2 + raiz3)4R (2 - raiz3) vp = raizG ME4R cdot 2 + raiz32 - raiz3
Multiplicando numerador e denominador por (2 + raiz3) para racionalizar:
2 + raiz32 - raiz3 cdot 2 + raiz32 + raiz3 = (2 + raiz3)^24 - 3 = (2 + raiz3)^2
Portanto:
vp = raizG ME4R cdot (2 + raiz3)^2 vp = 2 + raiz32 raizG MER vp = 2 + raiz32 cdot v vp = (1 + raiz32) v

Resposta

A nova velocidade do satélite precisa ser (1 + raiz32) v.

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