Um satélite de massa se move com velocidade de módulo em uma órbita circular de raio em torno da Terra. Qual deve ser a nova velocidade do satélite para que ele se mova em uma órbita elíptica com semi-eixo menor e semi-eixo maior ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um satélite de massa que está orbitando a Terra numa trajetória circular com raio e velocidade . A pergunta é: qual a nova velocidade que o satélite precisa ter para mudar sua órbita para uma elíptica, onde o semi-eixo menor é e o semi-eixo maior é ? Vamos precisar entender um pouco sobre órbitas circulares e elípticas, além das leis de Kepler e da conservação da energia e do momento angular para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a velocidade de um satélite em órbita circular. A velocidade é dada por:
onde é a constante gravitacional e é a massa da Terra.
Passo 3
Agora, queremos uma órbita elíptica com semi-eixo menor e semi-eixo maior . Mas, na verdade, em uma elipse, os semi-eixos são definidos de outra forma. A relação correta é que o semi-eixo maior é e o semi-eixo menor .
Passo 4
Para uma órbita elíptica, a velocidade no ponto mais próximo (periélio) é maior que em uma órbita circular. A velocidade no periélio pode ser calculada usando a fórmula:
onde é a excentricidade da elipse.
Passo 5
Primeiro, vamos encontrar a excentricidade da nossa elipse. Sabemos que:
Substituindo e :
Passo 6
Agora que temos e , vamos calcular a velocidade no periélio usando a fórmula anterior: