Considere uma partícula de massa
e momento angular
que se move em uma trajetória descrita pela equação
, onde
e
são constantes.
Sabendo que no instante inicial
a partícula encontra-se na posição
e possui velocidade angular
, determine as equações de movimento para
e
.
Sabendo que no instante inicial
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma partícula com massa
e momento angular
que está se movendo ao longo de uma trajetória dada por
, onde
e
são constantes positivas. No instante inicial (
), a partícula está em
e tem uma velocidade angular inicial de
. Nosso objetivo é encontrar as equações de movimento para
e
, ou seja, expressões que descrevem como a posição radial
e o ângulo
variam com o tempo
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica clássica, especificamente o momento angular e a relação entre coordenadas polares e o movimento angular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o momento angular
de uma partícula é dado por:
Como o momento angular é constante, podemos isolar
Agora, substituímos a expressão de
na equação acima:
Simplificando:
Essa é uma equação diferencial que relaciona
e
. Para encontrar
, precisamos resolver essa equação. Vamos separar as variáveis:
Agora, reescrevemos para integrar ambos os lados:
Integrando:
Onde
Substituindo de volta:
Multiplicando ambos os lados por
Agora, resolvemos para
:
Aplicando o logaritmo natural:
Finalmente, isolando
:
Passo 3
Agora que temos
, podemos encontrar
usando a relação dada pela trajetória:
Substituindo
Simplificando:
Lembrando que
Ou seja:
Resposta
As equações de movimento são:
e