Considere uma partícula de massa mu e momento angular l que se move em uma trajetória descrita pela equação r(theta)=k e^-alpha theta, onde k>0 e alpha>0 são constantes.
Sabendo que no instante inicial t=0 a partícula encontra-se na posição theta=0 e possui velocidade angular dottheta=omega>0, determine as equações de movimento para r(t) e theta(t).

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma partícula com massa mu e momento angular l que está se movendo ao longo de uma trajetória dada por r(theta) = k e^-alpha theta, onde k e alpha são constantes positivas. No instante inicial ( t=0), a partícula está em theta = 0 e tem uma velocidade angular inicial de dottheta = omega > 0. Nosso objetivo é encontrar as equações de movimento para r(t) e theta(t), ou seja, expressões que descrevem como a posição radial r e o ângulo theta variam com o tempo t. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica clássica, especificamente o momento angular e a relação entre coordenadas polares e o movimento angular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o momento angular l de uma partícula é dado por:
l = mu r^2 dottheta
Como o momento angular é constante, podemos isolar dottheta:
dottheta = lmu r^2
Agora, substituímos a expressão de r(theta) na equação acima:
dottheta = lmu (k e^-alpha theta)^2 = lmu k^2 e^-2alpha theta
Simplificando:
dottheta = l e^2alpha thetamu k^2
Essa é uma equação diferencial que relaciona theta e t. Para encontrar theta(t), precisamos resolver essa equação. Vamos separar as variáveis:
dtheta = l e^2alpha thetamu k^2 dt
Agora, reescrevemos para integrar ambos os lados:
integral e^-2alpha theta dtheta = lmu k^2 integral dt
Integrando:
-12alpha e^-2alpha theta = lmu k^2 t + C
Onde C é a constante de integração. Usando a condição inicial t=0, theta=0:
-12alpha e^0 = 0 + C Rightarrow C = -12alpha
Substituindo de volta:
-12alpha e^-2alpha theta = lmu k^2 t - 12alpha
Multiplicando ambos os lados por -2alpha:
e^-2alpha theta = 2alpha lmu k^2 t + 1
Agora, resolvemos para theta(t):
e^-2alpha theta = 1 + 2alpha lmu k^2 t
Aplicando o logaritmo natural:
-2alpha theta = ln(1 + 2alpha lmu k^2 t)
Finalmente, isolando theta(t):
theta(t) = -12alpha ln(1 + 2alpha lmu k^2 t)

Passo 3

Agora que temos theta(t), podemos encontrar r(t) usando a relação dada pela trajetória:
r(t) = k e^-alpha theta(t)
Substituindo theta(t) que encontramos:
r(t) = k e^-alpha (-12alpha ln(1 + 2alpha lmu k^2 t))
Simplificando:
r(t) = k e^12 ln(1 + 2alpha lmu k^2 t)
Lembrando que e^ln(x) = x, temos:
r(t) = k (1 + 2alpha lmu k^2 t)^12
Ou seja:
r(t) = k raiz1 + 2alpha lmu k^2 t

Resposta

As equações de movimento são:
theta(t) = -12alpha ln(1 + 2alpha lmu k^2 t)
e
r(t) = k raiz1 + 2alpha lmu k^2 t

Exercícios relacionados