Considere uma partícula de massa mu e momento angular l que se move sob a ação de uma força central dada por F(r)=-k r^-3, onde k>0 é uma constante.
Determine a equação da órbita para l^2=mu k, l^2 e l^2>mu k.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma partícula com massa mu e momento angular l que se move sob a influência de uma força central dada por F(r) = -k r^-3, onde k > 0. Nosso objetivo é encontrar a equação da órbita dessa partícula em três situações diferentes: quando l^2 = mu k, l^2 < mu k e l^2 > mu k. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica clássica, mais especificamente sobre forças centrais e movimentos orbitais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que em movimentos sob força central, a trajetória da partícula pode ser descrita pela equação diferencial que relaciona a posição radial r com o ângulo theta. A equação geral da órbita é dada por:
d^2udtheta^2 + u = -F(r)mu l^2 u^2
onde u = 1r. Neste caso, F(r) = -k r^-3, então substituindo na equação:
d^2udtheta^2 + u = kmu l^2 u^3

Passo 3

Agora, vamos analisar os três casos proporcionais a l^2 e mu k.
Caso 1: l^2 = mu k
Substituindo l^2 = mu k na equação, temos:
d^2udtheta^2 + u = kmu k u^3 = 1mu u^3
Mas como l^2 = mu k, simplifica para:
d^2udtheta^2 + u = u^3
Esta é uma equação diferencial não linear que pode ser resolvida observando que, para essa condição específica, a órbita é uma circunferência perfeita, já que a força equilibra exatamente o momento angular.

Passo 4

Caso 2: l^2 < mu k
Aqui, l^2 é menor que mu k. Substituindo na equação original:
d^2udtheta^2 + u = kmu l^2 u^3
Como l^2 < mu k, o termo kmu l^2 é maior que 1. Isso implica que a solução da equação diferencial resultará em trajetórias que não são fechadas, podendo ser hipérbolicas ou elípticas dependendo das energias envolvidas.

Passo 5

Caso 3: l^2 > mu k
Neste caso, l^2 é maior que mu k. Substituindo novamente na equação:
d^2udtheta^2 + u = kmu l^2 u^3
Com l^2 > mu k, o termo kmu l^2 é menor que 1, levando a soluções onde a órbita pode fechar-se de forma circular ou elíptica, dependendo das condições iniciais.

Resposta

A equação da órbita para a partícula sob a força F(r) = -k r^-3 é:
  • Para l^2 = mu k:
    r(theta) = constante (Órbita circular) Ó
  • Para l^2 < mu k:
    r(theta) = 1u(theta) com trajetórias abertas, possivelmente hiperbólicas óó
  • Para l^2 > mu k:
    r(theta) = 1u(theta) com trajetórias fechadas, possivelmente elípticas óí
Essas soluções refletem como o momento angular l em relação a mu k determina a forma da órbita da partícula.

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