Considere uma partícula de massa
e momento angular
que se move sob a ação de uma força central dada por
, onde
é uma constante.
Determine a equação da órbita para
e
.
Determine a equação da órbita para
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma partícula com massa
e momento angular
que se move sob a influência de uma força central dada por
, onde
. Nosso objetivo é encontrar a equação da órbita dessa partícula em três situações diferentes: quando
,
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica clássica, mais especificamente sobre forças centrais e movimentos orbitais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que em movimentos sob força central, a trajetória da partícula pode ser descrita pela equação diferencial que relaciona a posição radial
com o ângulo
. A equação geral da órbita é dada por:
onde
. Neste caso,
, então substituindo na equação:
Passo 3
Agora, vamos analisar os três casos proporcionais a
e
.
Caso 1:
Substituindo
na equação, temos:
Mas como
, simplifica para:
Esta é uma equação diferencial não linear que pode ser resolvida observando que, para essa condição específica, a órbita é uma circunferência perfeita, já que a força equilibra exatamente o momento angular.
Passo 4
Caso 2:
Aqui,
é menor que
. Substituindo na equação original:
Como
, o termo
é maior que 1. Isso implica que a solução da equação diferencial resultará em trajetórias que não são fechadas, podendo ser hipérbolicas ou elípticas dependendo das energias envolvidas.
Passo 5
Caso 3:
Neste caso,
é maior que
. Substituindo novamente na equação:
Com
, o termo
é menor que 1, levando a soluções onde a órbita pode fechar-se de forma circular ou elíptica, dependendo das condições iniciais.
Resposta
A equação da órbita para a partícula sob a força
é:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Essas soluções refletem como o momento angular
em relação a
determina a forma da órbita da partícula.