Considere uma rede unidimensional de N átomos neutros, cada um separado por uma distância
. Seja
o deslocamento da sua posição de equilíbrio no sítio
na, onde n é um inteiro, tal que
. Sejam as expressões da energia cinética e de interação do sistema, dadas por
utilizando condições periódicas
, e a transformação
mostre que
Passo 1
O enunciado nos dá:
- A rede unidimensional com
átomos, separação , deslocamento do átomo na posição dado por com . - Energia cinética:
- Energia de interação (só vizinhos):
- Condições periódicas:
. - Transformação para as amplitudes normais:
O que precisa ser mostrado: escrever a energia total
na forma
(com definição apropriada do momento conjugado
e da frequência
). Vou fazer passo a passo cada substituição e explicar toda a teoria usada (identidade de ortogonalidade das exponenciais, definição de momento conjugado, simplificação do módulo quadrado).
Passo 2
Identidade útil (ortogonalidade das ondas de Fourier discretas):
onde
é o delta de Kronecker (igual a 1 se
módulo da grade de momentos permitidos, e 0 caso contrário). Essa identidade é a chave para “diagonalizar” somas envolvendo dois índices de onda. Também é importante lembrar que os valores de
são os valores discretos compatíveis com as condições periódicas (por exemplo
,
), mas não precisamos usar explicitamente esses valores para as manipulações seguintes.
Passo 3
Cálculo de
. Primeiro escrevo a velocidade
usando a transformação:
Agora substituo em
:
Agrupando fatores:
Agora uso a identidade do Passo 2 para fazer a soma em
:
Logo
Explicando a etapa: a soma dupla em
colapsa para uma soma simples porque só contribuem os pares
.
Passo 4
Definição do momento conjugado às amplitudes normais. Para cada modo
definimos o momento conjugado
por
Observe que essa é a forma natural vindo de
(análogo a
para uma partícula). Invertendo,
Substituindo essa relação em
obtemos
Mais direto e sem confundir fatores:
Portanto a contribuição cinética já está na forma desejada:
Passo 5
Cálculo de
. Primeiro escrevo a diferença entre vizinhos usando a transformação:
Com a transformação
Mas como na transformação do enunciado aparece
com
inteiro e o enunciado usou compactamente
como índice por sítio (sem escrever explicitamente o
no argumento do exponencial), é habitual incorporar o fator
no próprio
. Para manter coerência com a transformada dada, vou trabalhar com o passo entre sítios unitários (ou seja, considerar
para o deslocamento de um sítio). Assim:
(Observação: essa escrita usa a convenção do enunciado onde o produto
engloba a fase de um sítio para o outro; se preferir, pense em
já medido em unidades
.)
Agora coloco isso em
:
Reagrupando fatores:
Usando novamente a identidade da soma sobre
:
fica
Passo 6
Simplificação do fator complexo. Calculo o produto
Mas
. Assim
Portanto
Para colocar na forma de um termo quadrático com uma “frequência ao quadrado” multiplicando
, reorganizo como
Defino então a frequência (dispersão) do modo
por
Com essa definição
Passo 7
Somando as contribuições cinética e potencial obtidas nos passos anteriores:
Logo a energia total é
com
Passo 8
Comentários finais (didáticos e úteis para a prova):
- A identidade
é simplesmente a ortogonalidade das exponenciais discretas; sempre que aparecer soma sobre o índice de sítio depois de duas exponenciais, ela reduz a soma dupla a uma simples. - A definição
é a forma natural do momento conjugado às amplitudes normais ; ela garante que o termo cinético fique quadrático em . - A frequência
obtida é a relação de dispersão dos fonons em uma cadeia linear com acoplamento elástico entre vizinhos; para pequenos (ondas longas) vale (pois ), mostrando comportamento acústico . - Em sistemas reais as
satisfazem para real, e então ; isso garante que seja real e positivo.