Considere uma rede unidimensional de N átomos neutros, cada um separado por uma distância a. Seja \xi_{n} o deslocamento da sua posição de equilíbrio no sítio \mathrm{R}= na, onde n é um inteiro, tal que \mathrm{n}=1,2,3, \ldots, \mathrm{~N}. Sejam as expressões da energia cinética e de interação do sistema, dadas por
K=\frac{1}{2} m \sum_{n} \dot{\xi}_{n}^{2}
U=\frac{1}{2} \gamma \sum_{n}\left(\xi_{n}-\xi_{n-a}\right)^{2}
utilizando condições periódicas \xi_{n}=\xi_{n+N a}, e a transformação
\xi_{n}=N^{-1 / 2} \sum_{k} A_{k} \exp (i k n)
mostre que
E=K+U=\frac{1}{2} \sum_{k}\left[\frac{1}{m} p_{k} P_{-k}+m \Omega^{2}(k) A_{k} A_{-k}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • A rede unidimensional com N átomos, separação a, deslocamento do átomo na posição R=na dado por \xi_n com n=1,2,\dots,N.
  • Energia cinética:
K=\frac{1}{2}m\sum_{n}\dot{\xi}_n^2.
  • Energia de interação (só vizinhos):
U=\frac{1}{2}\gamma\sum_{n}\left(\xi_n-\xi_{n-a}\right)^2.
  • Condições periódicas: \xi_{n}=\xi_{n+Na}.
  • Transformação para as amplitudes normais:
\xi_n = N^{-1/2}\sum_k A_k \exp(i k n).
O que precisa ser mostrado: escrever a energia total E=K+U na forma
E=\frac{1}{2}\sum_k\left[\frac{1}{m}P_k P_{-k} + m\,\Omega^2(k)\,A_k A_{-k}\right],
(com definição apropriada do momento conjugado P_k e da frequência \Omega(k)). Vou fazer passo a passo cada substituição e explicar toda a teoria usada (identidade de ortogonalidade das exponenciais, definição de momento conjugado, simplificação do módulo quadrado).

Passo 2

Identidade útil (ortogonalidade das ondas de Fourier discretas):
\sum_{n=1}^{N} e^{i(k+k')n} = N\,\delta_{k,-k'},
onde \delta_{k,-k'} é o delta de Kronecker (igual a 1 se k'=-k módulo da grade de momentos permitidos, e 0 caso contrário). Essa identidade é a chave para “diagonalizar” somas envolvendo dois índices de onda. Também é importante lembrar que os valores de k são os valores discretos compatíveis com as condições periódicas (por exemplo k=\tfrac{2\pi}{N}m, m\in\mathbb{Z}), mas não precisamos usar explicitamente esses valores para as manipulações seguintes.

Passo 3

Cálculo de K. Primeiro escrevo a velocidade \dot{\xi}_n usando a transformação:
\dot{\xi}_n = N^{-1/2}\sum_k \dot{A}_k \, e^{i k n}.
Agora substituo em K:
K=\frac{1}{2}m\sum_{n} \dot{\xi}_n^2 = \frac{1}{2}m\sum_{n} \left( N^{-1/2}\sum_k \dot{A}_k e^{i k n} \right) \left( N^{-1/2}\sum_{k'} \dot{A}_{k'} e^{i k' n} \right).
Agrupando fatores:
K=\frac{1}{2}m\,N^{-1}\sum_{n}\sum_{k,k'} \dot{A}_k \dot{A}_{k'} e^{i(k+k')n}.
Agora uso a identidade do Passo 2 para fazer a soma em n:
\sum_{n} e^{i(k+k')n} = N\,\delta_{k,-k'}.
Logo
K=\frac{1}{2}m\,N^{-1}\sum_{k,k'} \dot{A}_k \dot{A}_{k'} \, N\,\delta_{k,-k'} = \frac{1}{2}m\sum_{k} \dot{A}_k \dot{A}_{-k}.
Explicando a etapa: a soma dupla em k,k' colapsa para uma soma simples porque só contribuem os pares k'=-k.

Passo 4

Definição do momento conjugado às amplitudes normais. Para cada modo k definimos o momento conjugado P_k por
P_k \equiv m\,\dot{A}_{-k}.
Observe que essa é a forma natural vindo de K (análogo a p=m\dot{x} para uma partícula). Invertendo,
\dot{A}_k = \frac{1}{m}\,P_{-k}.
Substituindo essa relação em K=\tfrac{1}{2}m\sum_k \dot{A}_k \dot{A}_{-k} obtemos
K = \frac{1}{2}m\sum_k \left(\frac{1}{m}P_{-k}\right)\left(\frac{1}{m}P_{k}\right)m = \frac{1}{2}\frac{1}{m}\sum_k P_k P_{-k}.
Mais direto e sem confundir fatores:
K=\frac{1}{2}m\sum_k \dot{A}_k\dot{A}_{-k} = \frac{1}{2}m\sum_k \left(\frac{1}{m}P_{-k}\right)\left(\frac{1}{m}P_{k}\right)m = \frac{1}{2}\frac{1}{m}\sum_k P_k P_{-k}.
Portanto a contribuição cinética já está na forma desejada:
K=\frac{1}{2}\sum_k \frac{1}{m}P_k P_{-k}.

Passo 5

Cálculo de U. Primeiro escrevo a diferença entre vizinhos usando a transformação:
\xi_n - \xi_{n-a} \quad\text{(aqui \(n-a\) é o índice do sítio anterior)}.éíí
Com a transformação
\xi_{n-a} = N^{-1/2}\sum_k A_k e^{ik(n-a)} = N^{-1/2}\sum_k A_k e^{ikn} e^{-ik a}.
Mas como na transformação do enunciado aparece e^{ikn} com n inteiro e o enunciado usou compactamente n como índice por sítio (sem escrever explicitamente o a no argumento do exponencial), é habitual incorporar o fator a no próprio k. Para manter coerência com a transformada dada, vou trabalhar com o passo entre sítios unitários (ou seja, considerar e^{-ik} para o deslocamento de um sítio). Assim:
\xi_n - \xi_{n-a} = N^{-1/2}\sum_k A_k e^{ikn}\left(1-e^{-ik}\right).
(Observação: essa escrita usa a convenção do enunciado onde o produto kn engloba a fase de um sítio para o outro; se preferir, pense em k já medido em unidades 1/a.)
Agora coloco isso em U:
U=\frac{1}{2}\gamma\sum_n \left( N^{-1/2}\sum_k A_k e^{ikn}(1-e^{-ik}) \right) \left( N^{-1/2}\sum_{k'} A_{k'} e^{ik' n}(1-e^{-ik'}) \right).
Reagrupando fatores:
U=\frac{1}{2}\gamma N^{-1}\sum_{n}\sum_{k,k'} A_k A_{k'} (1-e^{-ik})(1-e^{-ik'}) e^{i(k+k')n}.
Usando novamente a identidade da soma sobre n:
\sum_{n} e^{i(k+k')n} = N\,\delta_{k,-k'},
fica
U=\frac{1}{2}\gamma\sum_{k} A_k A_{-k} (1-e^{-ik})(1-e^{ik}).

Passo 6

Simplificação do fator complexo. Calculo o produto
(1-e^{-ik})(1-e^{ik}) = 1 - e^{ik} - e^{-ik} + 1 = 2 - (e^{ik}+e^{-ik}).
Mas e^{ik}+e^{-ik} = 2\cos k. Assim
(1-e^{-ik})(1-e^{ik}) = 2 - 2\cos k = 2(1-\cos k).
Portanto
U = \frac{1}{2}\gamma \sum_k A_k A_{-k}\,2(1-\cos k) = \gamma\sum_k A_k A_{-k}(1-\cos k).
Para colocar na forma de um termo quadrático com uma “frequência ao quadrado” multiplicando m, reorganizo como
U = \frac{1}{2} m \sum_k \left(\frac{2\gamma}{m}(1-\cos k)\right) A_k A_{-k}.
Defino então a frequência (dispersão) do modo k por
\Omega^2(k) \equiv \frac{2\gamma}{m}\bigl(1-\cos k\bigr).
Com essa definição
U = \frac{1}{2} m \sum_k \Omega^2(k)\, A_k A_{-k}.

Passo 7

Somando as contribuições cinética e potencial obtidas nos passos anteriores:
K = \frac{1}{2}\sum_k \frac{1}{m}P_k P_{-k}, \qquad U = \frac{1}{2}\sum_k m\,\Omega^2(k)\,A_k A_{-k}.
Logo a energia total é
E=K+U = \frac{1}{2}\sum_k\left[\frac{1}{m}P_k P_{-k} + m\,\Omega^2(k)\,A_k A_{-k}\right],
com
\Omega^2(k)=\frac{2\gamma}{m}\bigl(1-\cos k\bigr).

Passo 8

Comentários finais (didáticos e úteis para a prova):
  • A identidade \sum_n e^{i(k+k')n}=N\delta_{k,-k'} é simplesmente a ortogonalidade das exponenciais discretas; sempre que aparecer soma sobre o índice de sítio depois de duas exponenciais, ela reduz a soma dupla a uma simples.
  • A definição P_k=m\dot{A}_{-k} é a forma natural do momento conjugado às amplitudes normais A_k; ela garante que o termo cinético fique quadrático em P_k.
  • A frequência \Omega(k) obtida é a relação de dispersão dos fonons em uma cadeia linear com acoplamento elástico entre vizinhos; para pequenos k (ondas longas) vale \Omega^2(k)\approx \tfrac{\gamma}{m} k^2 (pois 1-\cos k \approx k^2/2), mostrando comportamento acústico \Omega\propto k.
  • Em sistemas reais as A_k satisfazem A_{-k}=A_k^* para \xi_n real, e então P_{-k}=P_k^*; isso garante que E seja real e positivo.

Resposta

E=K+U=\frac{1}{2}\sum_{k}\left[\frac{1}{m}P_{k}P_{-k}+m\,\Omega^{2}(k)\,A_{k}A_{-k}\right], \qquad \Omega^{2}(k)=\frac{2\gamma}{m}\bigl(1-\cos k\bigr).

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