Considere um cristal descrito por uma rede de Bravais com rede recíproca
. A Primeira Zona de Brillouin (1BZ) é definida como a célula de Wigner-Seitz da rede recíproca.
Mostre rigorosamente que a 1BZ contém toda a informaçāo física independente sobre os vetores de onda do cristal. Para isso, demonstre que:
(a) Para qualquer vetor
, existe um vetor da rede recíproca
tal que
pertence à 1BZ.
(b) Se
e
diferem por um vetor da rede recíproca, entāo eles sāo fisicamente equivalentes no cristal. Mostre isso:
- para ondas planas em uma rede de Bravais;
- usando o teorema de Bloch.
(a) Para qualquer vetor
(b) Se
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, ponto a ponto.
-
Dados fornecidos:
- Existe uma rede de Bravais no espaço direto (com vetores translação
). - A rede recíproca correspondente é o conjunto
definido por para todo da rede direta e algum . - A Primeira Zona de Brillouin (1BZ) é definida como a célula de Wigner–Seitz centrada na origem da rede recíproca; ou seja, é o conjunto de pontos do espaço recíproco que são mais próximos da origem do que de qualquer outro ponto da rede recíproca (tomando a fecho ou a região fechada quando houver igualdade).
- Existe uma rede de Bravais no espaço direto (com vetores translação
-
O que o enunciado pede, dividido em duas partes:
(a) Mostrar que para qualquer vetorexiste um vetor da rede recíproca tal que pertence à 1BZ.
(b) Mostrar quee (com da rede recíproca) são fisicamente equivalentes no cristal, provando isso: - primeiro para ondas planas em uma rede de Bravais;
- e depois usando o teorema de Bloch.
-
Observações úteis que vou usar (sem resolver ainda):
- Definição operacional da 1BZ:
(pelo menos para o fecho). - Para mostrar existência de
em (a) vou usar argumentos sobre mínimos de uma função definida em um conjunto discreto (a rede recíproca). - Para (b) vou usar propriedades da transformação por vetores da rede recíproca sobre funções planas e as implicações do grupo de translações e do teorema de Bloch.
- Definição operacional da 1BZ:
Passo 2
Prova de (a): existência de
tal que
pertence à 1BZ.
Explicação do método (ideia): para cada
considere a distância
. Vou escolher um
que minimize essa distância. Esse minimizador existe porque a rede recíproca é discreta e os valores
tendem a infinito quando
. Em seguida mostrarei que o ponto
fica na célula de Wigner–Seitz (1BZ).
Detalhamento técnico: mostrar existência do mínimo.
- Defina a função
por . - Primeiro observe que
(desigualdade triangular rearranjada). Assim, se então . - A rede recíproca
é um conjunto discreto: para qualquer raio o número de com é finito. Portanto, existe um raio tal que todos os que podem dar valores de menores ou iguais a um certo número pertencem a um conjunto finito. Em particular, o conjunto é um conjunto de números reais não negativos que tem um ínfimo e, por discreção, esse ínfimo é alcançado por algum . - Logo existe
tal que para todo .
Passo 3
Concluir que o minimizador
leva
para dentro da 1BZ (ou pelo menos na sua fecho).
- Pela escolha de
, tem-se - Substituindo
e escrevendo (onde corre sobre toda a rede recíproca quando varia), a desigualdade acima fica Ou seja, o vetor é mais próximo da origem do que de qualquer outro ponto da rede recíproca (ou à mesma distância para o caso de pontos situados sobre a fronteira). Essa é exactamente a definição da célula de Wigner–Seitz centrada na origem. - Portanto
1BZ (ou no fecho da 1BZ se houver empates na distância).
Comentário didático: o argumento é apenas a tradução matemática da ideia intuitiva “reduzir
por um vetor recíproco até que o ponto esteja o mais perto possível da origem”; esse ponto mínimo pertence à célula que coleta todos os pontos mais próximos da origem — a 1BZ. A existência do mínimo depende crucialmente do carácter discreto da rede recíproca.
Passo 4
Interpretação física do item (a) e ligação com domínio fundamental: comentário curto e prático para a prova.
- O que foi provado é que a 1BZ é um domínio fundamental para a ação por translação
do grupo formado pelos vetores da rede recíproca: todo é equivalente a um único ponto (modulo fronteira) da 1BZ. Na prática de prova/exame: para estudar propriedades físicas que dependem só do vetor de onda modulo , basta restringir à 1BZ.
Passo 5
Agora começo (b): primeiro parte — mostrar que, para ondas planas em uma rede de Bravais,
e
são fisicamente equivalentes.
- Considere a onda plana
A onda com vetor é - Propriedade fundamental da rede recíproca: para qualquer vetor de translação da rede direta
temos . Logo a função é periódica com os mesmos vetores de translação da rede direta: - Considere o operador de translação por
, definido por . Aplicando a e a obtemos Ou seja, ambas transformam segundo a mesma “característica” do grupo de translações. - Consequência física: qualquer operador físico que seja invariante por translações da rede direta (em particular o Hamiltoniano de um potencial periódico
) age da mesma forma sobre os subespaços que carregam essa representação. Assim, e pertencem à mesma representação dos deslocamentos e não são distinguíveis por observáveis que respeitam a periodicidade do cristal (por exemplo densidade eletrônica periódica, operadores de momento cristalino reduzido, energias de bandas). - Observação prática: se se usar apenas ondas planas como base para expandir estados no cristal, adicionar um fator periódico
não muda as propriedades de invariância por translação — por isso, na descrição em espaço recíproco, e são considerados equivalentes.
Passo 6
Segunda parte de (b): prova usando o teorema de Bloch (mais formal e completa).
- Enunciado do teorema de Bloch (forma que vou usar): se
com para todos da rede direta, então os autovetores de podem ser escolhidos da forma onde é uma função periódica com a rede direta. - Agora considere
associado ao valor próprio . Multiplicando por define-se a função Note que é periódico com a rede direta, logo o produto (periódica) vezes continua sendo uma função periódica da rede direta. Assim tem a forma de uma função de Bloch com vetor de onda ; isto é, existe uma função periódica tal que - Porque
é apenas multiplicada por uma função periódica, ela pertence ao mesmo subespaço de representação do grupo de translações. Como comuta com as traduções, os espaços de autovalores de podem ser escolhidos para transformar segundo as mesmas representações. Em termos práticos de energia isso implica que o espectro (as bandas) satisfaz a periodicidade recíproca e que pode-se escolher um autovetor em obtido multiplicando o autovetor em por (eventualmente até uma fase constante). - Em linguagem de grupo: os autovalores de
são rotulados pelas representações irreducíveis do grupo de translações; os rótulos e coincidem porque . Portanto e correspondem à mesma representação e têm a mesma física (mesmas energias de banda, mesmas propriedades de densidade eletrônica, etc.).
Passo 7
Comentário pedagógico e fechamento: por que isto garante que a 1BZ contém toda a informação física independente sobre vetores de onda?
- A ação
gera classes de equivalência de vetores de onda. O item (a) mostra que cada classe tem um representante na 1BZ. O item (b) mostra que vetores de onda dentro da mesma classe são fisicamente equivalentes (mesmas energias, mesmas representações do grupo de translação, estados relacionados por múltiplicação por função periódica). Logo nenhum fora da 1BZ traz informação nova que não exista já representada por um vetor dentro da 1BZ. - Portanto, para estudar as propriedades físicas que dependem do vetor de onda (por exemplo dispersão
, densidade de estados por , respostas lineares periódicas, etc.), basta restringir à 1BZ.
Resposta
(a) Para qualquer
existe
tal que
pertence à 1BZ: escolha
que minimiza
; esse mínimo existe e implica
para todo
, logo
está na célula de Wigner–Seitz (1BZ).
(b)
e
são fisicamente equivalentes:
- Para ondas planas:
com para todo da rede direta, de modo que ambas as ondas transformam pela mesma fase sob translações de rede e não são distinguíveis por operadores periódicos do cristal. - Pelo teorema de Bloch: se
então tem a forma de Bloch com o mesmo autovalor, implicando ; assim e representam a mesma física no cristal.