Considere um cristal descrito por uma rede de Bravais com rede recíproca \{\mathbf{G}\}. A Primeira Zona de Brillouin (1BZ) é definida como a célula de Wigner-Seitz da rede recíproca.
Mostre rigorosamente que a 1BZ contém toda a informaçāo física independente sobre os vetores de onda do cristal. Para isso, demonstre que:
(a) Para qualquer vetor \mathbf{k} \in \mathbb{R}^{3}, existe um vetor da rede recíproca \mathbf{G} tal que
\mathbf{k}^{\prime}=\mathbf{k}-\mathbf{G}
pertence à 1BZ.
(b) Se \mathbf{k} e \mathbf{k}+\mathbf{G} diferem por um vetor da rede recíproca, entāo eles sāo fisicamente equivalentes no cristal. Mostre isso:
  • para ondas planas em uma rede de Bravais;
  • usando o teorema de Bloch.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, ponto a ponto.
  • Dados fornecidos:
    • Existe uma rede de Bravais no espaço direto (com vetores translação \{\mathbf{R}\}).
    • A rede recíproca correspondente é o conjunto \{\mathbf{G}\} definido por \mathbf{G}\cdot\mathbf{R}=2\pi m para todo \mathbf{R} da rede direta e algum m\in\mathbb{Z}.
    • A Primeira Zona de Brillouin (1BZ) é definida como a célula de Wigner–Seitz centrada na origem da rede recíproca; ou seja, é o conjunto de pontos do espaço recíproco que são mais próximos da origem do que de qualquer outro ponto da rede recíproca (tomando a fecho ou a região fechada quando houver igualdade).
  • O que o enunciado pede, dividido em duas partes:
    (a) Mostrar que para qualquer vetor \mathbf{k}\in\mathbb{R}^3 existe um vetor \mathbf{G} da rede recíproca tal que \mathbf{k}'=\mathbf{k}-\mathbf{G} pertence à 1BZ.
    (b) Mostrar que \mathbf{k} e \mathbf{k}+\mathbf{G} (com \mathbf{G} da rede recíproca) são fisicamente equivalentes no cristal, provando isso:
    • primeiro para ondas planas em uma rede de Bravais;
    • e depois usando o teorema de Bloch.
  • Observações úteis que vou usar (sem resolver ainda):
    • Definição operacional da 1BZ: \text{1BZ}=\{ \mathbf{q}\in\mathbb{R}^3 : |\mathbf{q}|\le |\mathbf{q}-\mathbf{G}'|\\ \forall \mathbf{G}'\in\{\mathbf{G}\}\} (pelo menos para o fecho).
    • Para mostrar existência de \mathbf{G} em (a) vou usar argumentos sobre mínimos de uma função definida em um conjunto discreto (a rede recíproca).
    • Para (b) vou usar propriedades da transformação por vetores da rede recíproca sobre funções planas e as implicações do grupo de translações e do teorema de Bloch.

Passo 2

Prova de (a): existência de \mathbf{G} tal que \mathbf{k}'=\mathbf{k}-\mathbf{G} pertence à 1BZ.
Explicação do método (ideia): para cada \mathbf{G}\in\{\mathbf{G}\} considere a distância |\mathbf{k}-\mathbf{G}|. Vou escolher um \mathbf{G} que minimize essa distância. Esse minimizador existe porque a rede recíproca é discreta e os valores |\mathbf{k}-\mathbf{G}| tendem a infinito quando |\mathbf{G}|\to\infty. Em seguida mostrarei que o ponto \mathbf{k}'=\mathbf{k}-\mathbf{G} fica na célula de Wigner–Seitz (1BZ).
Detalhamento técnico: mostrar existência do mínimo.
  • Defina a função f:\{\mathbf{G}\}\to\mathbb{R}_{\ge0} por f(\mathbf{G})=|\mathbf{k}-\mathbf{G}|.
  • Primeiro observe que |\mathbf{k}-\mathbf{G}|\ge |\mathbf{G}|-|\mathbf{k}| (desigualdade triangular rearranjada). Assim, se |\mathbf{G}|\to\infty então |\mathbf{k}-\mathbf{G}|\to\infty.
  • A rede recíproca \{\mathbf{G}\} é um conjunto discreto: para qualquer raio R o número de \mathbf{G} com |\mathbf{G}|\le R é finito. Portanto, existe um raio R_0 tal que todos os \mathbf{G} que podem dar valores de f(\mathbf{G}) menores ou iguais a um certo número pertencem a um conjunto finito. Em particular, o conjunto \{f(\mathbf{G}) : \mathbf{G}\in\{\mathbf{G}\}\} é um conjunto de números reais não negativos que tem um ínfimo e, por discreção, esse ínfimo é alcançado por algum \mathbf{G}_0.
  • Logo existe \mathbf{G}_0 tal que f(\mathbf{G}_0)\le f(\mathbf{G}) para todo \mathbf{G}.

Passo 3

Concluir que o minimizador \mathbf{G}_0 leva \mathbf{k}'=\mathbf{k}-\mathbf{G}_0 para dentro da 1BZ (ou pelo menos na sua fecho).
  • Pela escolha de \mathbf{G}_0, tem-se |\mathbf{k}-\mathbf{G}_0|\le |\mathbf{k}-\mathbf{G}|\qquad\forall\,\mathbf{G}\in\{\mathbf{G}\}.
  • Substituindo \mathbf{k}'=\mathbf{k}-\mathbf{G}_0 e escrevendo \mathbf{G}=\mathbf{G}_0+\mathbf{H} (onde \mathbf{H} corre sobre toda a rede recíproca quando \mathbf{G} varia), a desigualdade acima fica |\mathbf{k}'|\le |\mathbf{k}'-\mathbf{H}|\qquad\forall\,\mathbf{H}\in\{\mathbf{G}\}.Ou seja, o vetor \mathbf{k}' é mais próximo da origem do que de qualquer outro ponto da rede recíproca (ou à mesma distância para o caso de pontos situados sobre a fronteira). Essa é exactamente a definição da célula de Wigner–Seitz centrada na origem.
  • Portanto \mathbf{k}'\in 1BZ (ou no fecho da 1BZ se houver empates na distância).
Comentário didático: o argumento é apenas a tradução matemática da ideia intuitiva “reduzir \mathbf{k} por um vetor recíproco até que o ponto esteja o mais perto possível da origem”; esse ponto mínimo pertence à célula que coleta todos os pontos mais próximos da origem — a 1BZ. A existência do mínimo depende crucialmente do carácter discreto da rede recíproca.

Passo 4

Interpretação física do item (a) e ligação com domínio fundamental: comentário curto e prático para a prova.
  • O que foi provado é que a 1BZ é um domínio fundamental para a ação por translação \mathbf{k}\mapsto\mathbf{k}+\mathbf{G} do grupo formado pelos vetores da rede recíproca: todo \mathbf{k} é equivalente a um único ponto (modulo fronteira) da 1BZ. Na prática de prova/exame: para estudar propriedades físicas que dependem só do vetor de onda modulo \{\mathbf{G}\}, basta restringir \mathbf{k} à 1BZ.

Passo 5

Agora começo (b): primeiro parte — mostrar que, para ondas planas em uma rede de Bravais, \mathbf{k} e \mathbf{k}+\mathbf{G} são fisicamente equivalentes.
  • Considere a onda plana \psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}) = e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}.A onda com vetor \mathbf{k}+\mathbf{G} é \psi_{\mathbf{k}+\mathbf{G}}(\mathbf{r}) = e^{i(\mathbf{k}+\mathbf{G})\cdot\mathbf{r}} = e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}\,e^{i\mathbf{G}\cdot\mathbf{r}}.
  • Propriedade fundamental da rede recíproca: para qualquer vetor de translação da rede direta \mathbf{R} temos e^{i\mathbf{G}\cdot\mathbf{R}}=1. Logo a função e^{i\mathbf{G}\cdot\mathbf{r}} é periódica com os mesmos vetores de translação \mathbf{R} da rede direta: e^{i\mathbf{G}\cdot(\mathbf{r}+\mathbf{R})}=e^{i\mathbf{G}\cdot\mathbf{r}}.
  • Considere o operador de translação por \mathbf{R}, definido por (T_{\mathbf{R}}\psi)(\mathbf{r})=\psi(\mathbf{r}+\mathbf{R}). Aplicando a \psi_{\mathbf{k}} e a \psi_{\mathbf{k}+\mathbf{G}} obtemos T_{\mathbf{R}}\psi_{\mathbf{k}} = e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{R}}\,\psi_{\mathbf{k}},\qquad T_{\mathbf{R}}\psi_{\mathbf{k}+\mathbf{G}} = e^{i(\mathbf{k}+\mathbf{G})\cdot\mathbf{R}}\,\psi_{\mathbf{k}+\mathbf{G}} = e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{R}}\,\psi_{\mathbf{k}+\mathbf{G}}.Ou seja, ambas transformam segundo a mesma “característica” e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{R}} do grupo de translações.
  • Consequência física: qualquer operador físico que seja invariante por translações da rede direta (em particular o Hamiltoniano de um potencial periódico V(\mathbf{r}+\mathbf{R})=V(\mathbf{r})) age da mesma forma sobre os subespaços que carregam essa representação. Assim, \psi_{\mathbf{k}} e \psi_{\mathbf{k}+\mathbf{G}} pertencem à mesma representação dos deslocamentos e não são distinguíveis por observáveis que respeitam a periodicidade do cristal (por exemplo densidade eletrônica periódica, operadores de momento cristalino reduzido, energias de bandas).
  • Observação prática: se se usar apenas ondas planas como base para expandir estados no cristal, adicionar um fator periódico e^{i\mathbf{G}\cdot\mathbf{r}} não muda as propriedades de invariância por translação — por isso, na descrição em espaço recíproco, \mathbf{k} e \mathbf{k}+\mathbf{G} são considerados equivalentes.

Passo 6

Segunda parte de (b): prova usando o teorema de Bloch (mais formal e completa).
  • Enunciado do teorema de Bloch (forma que vou usar): se H=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\mathbf{r}) com V(\mathbf{r}+\mathbf{R})=V(\mathbf{r}) para todos \mathbf{R} da rede direta, então os autovetores de H podem ser escolhidos da forma \psi_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r}) = e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}\,u_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r}),onde u_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r}+\mathbf{R})=u_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r}) é uma função periódica com a rede direta.
  • Agora considere \psi_{n,\mathbf{k}}(\mathbf{r}) associado ao valor próprio E_n(\mathbf{k}). Multiplicando por e^{i\mathbf{G}\cdot\mathbf{r}} define-se a função \tilde{\psi}(\mathbf{r}) \equiv e^{i\mathbf{G}\cdot\mathbf{r}}\,\psi_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r}) = e^{i(\mathbf{k}+\mathbf{G})\cdot\mathbf{r}}\,u_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r}).Note que e^{i\mathbf{G}\cdot\mathbf{r}} é periódico com a rede direta, logo o produto u_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r}) (periódica) vezes e^{i\mathbf{G}\cdot\mathbf{r}} continua sendo uma função periódica da rede direta. Assim \tilde{\psi} tem a forma de uma função de Bloch com vetor de onda \mathbf{k}+\mathbf{G}; isto é, existe uma função periódica \tilde{u}(\mathbf{r})=e^{i\mathbf{G}\cdot\mathbf{r}}u_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r}) tal que \tilde{\psi}(\mathbf{r}) = e^{i(\mathbf{k}+\mathbf{G})\cdot\mathbf{r}}\,\tilde{u}(\mathbf{r}).
  • Porque \tilde{\psi} é apenas \psi_{n\mathbf{k}} multiplicada por uma função periódica, ela pertence ao mesmo subespaço de representação do grupo de translações. Como H comuta com as traduções, os espaços de autovalores de H podem ser escolhidos para transformar segundo as mesmas representações. Em termos práticos de energia isso implica que o espectro (as bandas) satisfaz a periodicidade recíproca E_n(\mathbf{k}+\mathbf{G})=E_n(\mathbf{k}).e que pode-se escolher um autovetor em \mathbf{k}+\mathbf{G} obtido multiplicando o autovetor em \mathbf{k} por e^{i\mathbf{G}\cdot\mathbf{r}} (eventualmente até uma fase constante).
  • Em linguagem de grupo: os autovalores de H são rotulados pelas representações irreducíveis do grupo de translações; os rótulos e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{R}} e e^{i(\mathbf{k}+\mathbf{G})\cdot\mathbf{R}} coincidem porque e^{i\mathbf{G}\cdot\mathbf{R}}=1. Portanto \mathbf{k} e \mathbf{k}+\mathbf{G} correspondem à mesma representação e têm a mesma física (mesmas energias de banda, mesmas propriedades de densidade eletrônica, etc.).

Passo 7

Comentário pedagógico e fechamento: por que isto garante que a 1BZ contém toda a informação física independente sobre vetores de onda?
  • A ação \mathbf{k}\mapsto\mathbf{k}+\mathbf{G} gera classes de equivalência de vetores de onda. O item (a) mostra que cada classe tem um representante na 1BZ. O item (b) mostra que vetores de onda dentro da mesma classe são fisicamente equivalentes (mesmas energias, mesmas representações do grupo de translação, estados relacionados por múltiplicação por função periódica). Logo nenhum \mathbf{k} fora da 1BZ traz informação nova que não exista já representada por um vetor dentro da 1BZ.
  • Portanto, para estudar as propriedades físicas que dependem do vetor de onda (por exemplo dispersão E_n(\mathbf{k}), densidade de estados por \mathbf{k}, respostas lineares periódicas, etc.), basta restringir \mathbf{k} à 1BZ.

Resposta

(a) Para qualquer \mathbf{k}\in\mathbb{R}^3 existe \mathbf{G}\in\{\mathbf{G}\} tal que \mathbf{k}'=\mathbf{k}-\mathbf{G} pertence à 1BZ: escolha \mathbf{G} que minimiza |\mathbf{k}-\mathbf{G}|; esse mínimo existe e implica |\mathbf{k}'|\le|\mathbf{k}'-\mathbf{H}| para todo \mathbf{H}\in\{\mathbf{G}\}, logo \mathbf{k}' está na célula de Wigner–Seitz (1BZ).
(b) \mathbf{k} e \mathbf{k}+\mathbf{G} são fisicamente equivalentes:
  • Para ondas planas: \psi_{\mathbf{k}+\mathbf{G}}(\mathbf{r})=e^{i\mathbf{G}\cdot\mathbf{r}}\psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}) com e^{i\mathbf{G}\cdot\mathbf{R}}=1 para todo \mathbf{R} da rede direta, de modo que ambas as ondas transformam pela mesma fase e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{R}} sob translações de rede e não são distinguíveis por operadores periódicos do cristal.
  • Pelo teorema de Bloch: se \psi_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r})=e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}u_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r}) então \psi_{n,\mathbf{k}+\mathbf{G}}(\mathbf{r})=e^{i\mathbf{G}\cdot\mathbf{r}}\psi_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r}) tem a forma de Bloch com o mesmo autovalor, implicando E_n(\mathbf{k}+\mathbf{G})=E_n(\mathbf{k}); assim \mathbf{k} e \mathbf{k}+\mathbf{G} representam a mesma física no cristal.

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