1. Agora vamos calcular o campo elétrico no eixo produzido por um cilindro de raio R , comprimento Le carga \rho \mathrm{C} / \mathrm{m}^{3}.

Passo 1

Estamos calculando o campo elétrico ao longo do eixo de um cilindro de raio R, comprimento L e densidade volumétrica de carga \rho. Vamos usar a lei de Coulomb em forma integral: o campo em um ponto P no eixo, a uma distância z do centro do cilindro, é obtido somando (integrando) as contribuições de cada elemento de carga do cilindro.

Passo 2

Escolhemos o eixo z passando pelo centro do cilindro, de modo que o ponto P esteja em z. Consideramos um disco infinitesimal de espessura dz' centrado em z'\in[-L/2,+L/2]. Esse disco tem área \pi R^2 e volume dV=\pi R^2\,dz', logo sua carga é
dq = \rho\,dV = \rho\,\pi R^2\,dz'.
Cada disco se comporta como um disco carregado de densidade superficial \sigma = \rho\,dz', cujo campo axial em P vale
dE(z) = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\Bigl[1 - \frac{z - z'}{\sqrt{(z - z')^2 + R^2}}\Bigr],
com direção ao longo de z.

Passo 3

Substituindo \sigma=\rho\,dz' em dE e integrando z' de -L/2 a +L/2, temos
E(z) \;=\;\int_{-L/2}^{+L/2} \frac{\rho}{2\varepsilon_0}\Bigl[1 - \frac{z - z'}{\sqrt{(z - z')^2 + R^2}}\Bigr]dz'.
Podemos separar essa integral em duas partes:
E(z) = \frac{\rho}{2\varepsilon_0}\Bigl[\underbrace{\int_{-L/2}^{+L/2}dz'}_{=L}\;-\;\int_{-L/2}^{+L/2}\frac{z - z'}{\sqrt{(z - z')^2 + R^2}}\,dz'\Bigr].

Passo 4

No segundo termo fazemos a mudança de variável u = z - z', de modo que quando z'=-L/2 temos u=z+L/2 e quando z'=+L/2 temos u=z-L/2. Então
\int_{-L/2}^{+L/2}\frac{z - z'}{\sqrt{(z - z')^2 + R^2}}\,dz' = \int_{u=z+L/2}^{\,u=z-L/2}\frac{u}{\sqrt{u^2+R^2}}(-du) = \Bigl[\sqrt{u^2+R^2}\Bigr]_{u=z-L/2}^{\,u=z+L/2}.
Isso dá
\sqrt{(z+L/2)^2 + R^2}\;-\;\sqrt{(z-L/2)^2 + R^2}.
Logo
E(z) = \frac{\rho}{2\varepsilon_0}\Bigl[L \;-\;\bigl(\sqrt{(z+L/2)^2 + R^2}-\sqrt{(z-L/2)^2 + R^2}\bigr)\Bigr].

Passo 5

Reorganizando a expressão, obtemos a forma usual em termos de diferenças de inversos de raiz:
E(z) = \frac{\rho R^2}{4\varepsilon_0}\Bigl[\frac{1}{\sqrt{R^2+(z-L/2)^2}} \;-\;\frac{1}{\sqrt{R^2+(z+L/2)^2}}\Bigr].
Este E(z) é a componente axial do campo, com sentido afastando-se do cilindro se \rho>0.

Resposta

E(z) = \frac{\rho R^2}{4\varepsilon_0}\,\Bigl[\frac{1}{\sqrt{R^2+(z-L/2)^2}} \;-\;\frac{1}{\sqrt{R^2+(z+L/2)^2}}\Bigr].

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