Considere duas ondas viajando em direções opostas e suas funções de onda y_{1}=A \operatorname{sen}(k x-\omega t) e y_{2}=A \operatorname{sen}(k x-\omega t). Mostre que a soma dessas ondas é uma onda estacionária. Uma onda estacionária sobre uma corda que está fixa nos extremos é dada por y(x, t)=0,024 \operatorname{sen}(52,3 x) \cos (480 t), daí encontre a velocidade da onda e a distância entre os dois nodos.
Resposta: v=9,18 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e a distância 6 cm .

Passo 1

O enunciado nos dá duas ondas de mesma amplitude A e mesmo número de onda k e frequência angular \omega, viajando em sentidos opostos, com funções de onda
y_{1}(x,t)=A\operatorname{sen}(kx-\omega t),
y_{2}(x,t)=A\operatorname{sen}(kx+\omega t).
Pede para mostrarmos que a soma y=y_{1}+y_{2} é uma onda estacionária e, em seguida, usar a forma dada
y(x,t)=0,024\operatorname{sen}(52,3\,x)\cos(480\,t)
para determinar a velocidade de propagação v e a distância entre dois nodos adjacentes. Vamos precisar da identidade trigonométrica de soma de senos e da relação de dispersão v=\omega/k.

Passo 2

Aplicando a identidade
\operatorname{sen}\alpha+\operatorname{sen}\beta = 2\operatorname{sen}\Bigl(\frac{\alpha+\beta}{2}\Bigr)\cos\Bigl(\frac{\alpha-\beta}{2}\Bigr)
com \alpha=kx-\omega t e \beta=kx+\omega t, obtemos
y(x,t)=A\operatorname{sen}(kx-\omega t)+A\operatorname{sen}(kx+\omega t) =2A\operatorname{sen}(kx)\cos(\omega t),
que é a forma típica de onda estacionária, com amplitude espacial 2A\operatorname{sen}(kx) variando em x e os “pulsos” oscilando em \cos(\omega t).

Passo 3

Na onda estacionária dada
y(x,t)=0,024\operatorname{sen}(52,3\,x)\cos(480\,t)
identificamos
k=52{,}3\\ \mathrm{rad/m}, \quad \omega=480\\ \mathrm{rad/s}.
A velocidade de propagação de cada componente viajante é
v=\frac{\omega}{k} =\frac{480}{52{,}3}\approx9{,}18\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Os nodos são pontos onde \operatorname{sen}(kx)=0, ou seja
kx=n\pi,\quad n\in\mathbb{Z}.
A distância entre dois nodos adjacentes n e n+1 vale
\Delta x = \frac{\pi}{k} =\frac{\pi}{52{,}3}\approx0{,}0601\\ \mathrm{m}\approx6\\ \mathrm{cm}.

Resposta

v=9,18\\ \mathrm{m/s}
Distância entre nodos adjacentes: 6\\ \mathrm{cm}.

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