Agora que você retomou como calcular certos limites, ou como comprovar que alguns não existem, com base nos conhecimento que foram utilizados nos três exercícios anteriores, resolva os próximos limites. Ou seja, para cada um dos próximos, ou conclua qual é o seu valor, ou conclua que ele não existe, justificando.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\sqrt[5]{x^{4} y}}{5 x^{7}-9 y^{7}}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sqrt[5]{x^{4}y}}{5x^{7}-9y^{7}}
Estamos no tema de limites em várias variáveis e vamos usar o método das trajetórias (paths) para mostrar que o limite não existe.

Passo 2

Definimos a função
f(x,y)=\frac{(x^{4}y)^{1/5}}{5x^{7}-9y^{7}}\,.
Note que (x^{4}y)^{1/5}=x^{4/5}\,y^{1/5}, de modo que a ordem de anulação do numerador é x^{4/5}y^{1/5} e do denominador é da ordem de x^{7} ou y^{7}.

Passo 3

Tomemos a trajetória y=0. Então
f(x,0)=\frac{(x^{4}\cdot 0)^{1/5}}{5x^{7}-9\cdot 0^{7}} =\frac{0}{5x^{7}}=0.
Logo, ao longo de y=0, o limite vale 0.

Passo 4

Agora escolhemos y=x^{4}. Substituindo:
f\bigl(x,x^{4}\bigr) =\frac{\bigl(x^{4}\cdot x^{4}\bigr)^{1/5}}{5x^{7}-9x^{28}} =\frac{x^{8/5}}{5x^{7}\bigl(1-\tfrac{9}{5}x^{21}\bigr)} \sim \frac{1}{5}\,x^{8/5-7} =\frac{1}{5}\,x^{-27/5}.
Quando x\to0, x^{-27/5}\to+\infty. Portanto, ao longo de y=x^{4}, a função diverge para +\infty.

Passo 5

Como em uma trajetória o limite é 0 e em outra tende a +\infty, o valor depende da direção de aproximação. Logo, o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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