Use limites ao longo de curvas para provar que os limites abaixo não existem.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{y^{3} x^{2}}{x^{8}+y^{4}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{y^{3}x^{2}}{x^{8}+y^{4}}
não existe. O conteúdo é limites de funções de duas variáveis e a estratégia é mostrar que o valor da expressão muda conforme escolhemos curvas de aproximação diferentes.

Passo 2

Aproximando-se pelo eixo x (isto é, y=0), o numerador fica zero e o denominador é x^8\neq0 para x\neq0. Logo, para toda sequência (x,0)\to(0,0) temos
\frac{y^3 x^2}{x^8+y^4}\Bigg|_{y=0} =\frac{0\cdot x^2}{x^8+0} =0.
Portanto, ao longo de y=0 o limite é 0.

Passo 3

Agora aproximamos por uma família de parábolas y = m\,x^2, com m constante real. Substituindo em f(x,y)=\frac{y^{3}x^{2}}{x^{8}+y^{4}} obtemos
f\bigl(x,\,m x^2\bigr) =\frac{(m x^2)^3\;x^2}{x^8+(m x^2)^4} =\frac{m^3\,x^6\;x^2}{x^8+m^4\,x^8} =\frac{m^3\,x^8}{x^8(1+m^4)} =\frac{m^3}{1+m^4}.
Como esse valor não depende de x, ao fazermos x\to0 o limite é exatamente
\lim_{x\to0}f\bigl(x,mx^2\bigr) =\frac{m^3}{1+m^4}.

Passo 4

Note que escolhendo m=0 recuperamos o resultado do Passo 2, ou seja 0/(1+0)=0. Mas se, por exemplo, m=1 o valor é
\frac{1^3}{1+1^4}=\frac{1}{2}\neq0.
Como diferentes curvas dão diferentes valores de limite, não há valor único.

Resposta

O limite \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{y^3x^2}{x^8+y^4} não existe.

Exercícios relacionados