Água a 15^{\circ} \mathrm{C} e a 1 atm é aquecida até 100^{\circ} \mathrm{C} com pressão constante. Usando coeficiente de expansão de volume, determine a mudança na densidade da água. \beta=0.484 \times 10^{-3} \mathrm{~K}^{-1}.
Resp: -41,4 \mathrm{~kg} / \mathrm{m} 3

Passo 1

O enunciado diz que água a \;T_1=15^\circ\mathrm C\; e pressão constante de 1 atm é aquecida até \;T_2=100^\circ\mathrm C. Pede-se a variação da densidade \Delta\rho=\rho_2-\rho_1, sabendo que o coeficiente de expansão volumétrica é
\beta = 0{,}484\times10^{-3}\,\mathrm K^{-1}.
Vamos usar a definição de \beta e a relação entre volume e densidade.

Passo 2

Por definição de coeficiente de expansão volumétrica em pressão constante, para uma variação de temperatura \Delta T=T_2-T_1, valem as aproximações (para variações moderadas):
\frac{\Delta V}{V_1} \approx \beta\,\Delta T.
Como a massa m se conserva, V_1=m/\rho_1 e V_2=m/\rho_2.

Passo 3

Da relação \Delta V/V_1=\beta\,\Delta T obtemos
V_2 = V_1\bigl(1+\beta\,\Delta T\bigr) \quad\Longrightarrow\quad \rho_2 = \frac{m}{V_2} = \frac{m}{V_1\,(1+\beta\,\Delta T)} = \frac{\rho_1}{1+\beta\,\Delta T}.

Passo 4

Assim, a variação da densidade é
\Delta \rho = \rho_2 - \rho_1 = \rho_1\Bigl(\frac{1}{1+\beta\,\Delta T}-1\Bigr).
Para \beta\,\Delta T\ll1 podemos ainda aproximar
\Delta \rho \approx -\,\rho_1\,\beta\,\Delta T.

Passo 5

Agora numericamente:
\Delta T = 100 - 15 = 85\;\mathrm K, \qquad \beta\,\Delta T = 0{,}484\times10^{-3}\times85 = 0{,}04114.
Tomando \rho_1\approx1000\;\mathrm{kg/m^3} (densidade da água a 15 °C),
\Delta \rho \approx -\,1000\times0{,}04114 = -41{,}14\;\mathrm{kg/m^3}.

Resposta

A mudança na densidade é aproximadamente
\Delta\rho \approx -41{,}4\;\mathrm{kg/m^3}.

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