Água a 20^{\circ} \mathrm{C} escoa com uma velocidade de 6 \mathrm{~m} / \mathrm{s} sobre uma placa de 60 cm de cumprimento e uma largura de 60 cm que tem uma temperatura uniforme de 40 C .
a) Calcule o coeficiente de transferência de calor médio e fluxo de calor da placa.
b) Qual é o coeficiente local de transferência de calor a 5 cm medidos desde o início da placa.
c) Descartando a transição de regime laminar para turbulento a que distancia esperasse encontrar o máximo coeficiente local de transferência de calor?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede três coisas. Dados:
Água à \,20^\circ\mathrm{C} (escoamento livre) com velocidade \,U=6{,}0\\ \mathrm{m/s}.
Placa de comprimento \,L=0{,}60\\ \mathrm{m} e largura \,W=0{,}60\\ \mathrm{m}.
Temperatura da placa \,T_s=40^\circ\mathrm{C}. Temperatura do fluido distante \,T_\infty=20^\circ\mathrm{C}.
Diferença de temperatura \,\Delta T = T_s-T_\infty = 20^\circ\mathrm{C}.
Perguntas:
a) Calcular o coeficiente de transferência de calor médio \,h_{médio}é sobre a placa e o fluxo de calor total \,\dot{Q} da placa.
b) Calcular o coeficiente local \,h_x em x=5\\ \mathrm{cm} medidos desde o início da placa.
c) Descartando a transição laminar–turbulento, a que distância se espera encontrar o máximo de \,h_x?

Passo 2

Escolha do método e propriedades do fluido (explicando por que):\n
Como temos escoamento externo sobre uma placa plana, usamos as correlações clássicas de convecção forçada de camada limite sobre placa plana: correlação laminar para a região inicial e correlação para a região turbulenta quando apropriado. Essas correlações dão a Nusselt local \,Nu_x como função de \,Re_x e \,Pr; em seguida obtemos \,h_x por \,h_x=Nu_x\,k/x. Vou considerar a temperatura de filme (média entre placa e fluido) para obter propriedades da água: \,T_{film}=(T_s+T_\infty)/2 = 30^\circ\mathrm{C}. Peguei as propriedades da água a \,30^\circ\mathrm{C} (tabela):\n
\rho = 995{,}7\\ \mathrm{kg/m^3} (densidade),\n
\mu = 7{,}98\times10^{-4}\\ \mathrm{Pa\cdot s} (viscosidade dinâmica),\n
\nu = \mu/\rho = 8{,}02\times10^{-7}\\ \mathrm{m^2/s} (viscosidade cinemática),\n
\,k = 0{,}613\\ \mathrm{W/(m\cdot K)} (condutividade térmica),\n
\,c_p \approx 4179\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)},\n
\alpha = k/(\rho c_p) \approx 1{,}472\times10^{-7}\\ \mathrm{m^2/s} (difusividade térmica),\n
\,Pr = \nu/\alpha \approx 5{,}45 (número de Prandtl).\n
Obs.: eu informei explicitamente que peguei esses valores de uma tabela de propriedades da água a 30^\circ\mathrm{C}. Esses números serão usados nas fórmulas a seguir.

Passo 3

Verificação do regime (cálculo de Reynolds) e posição de transição:\n
Reynolds baseado no comprimento total \,L é\n Re_L=\frac{U L}{\nu}.\n
Substituindo os valores:\n Re_L=\frac{6{,}0\cdot 0{,}60}{8{,}02\times10^{-7}} \approx 4{,}49\times10^{6}.\n
Como o número crítico típico para transição em placa lisa é \,Re_{x,crit}\approx 5{,}0\times10^{5}, concluímos que o escoamento fica laminar apenas até uma distância x_{cr} dada por\n x_{cr}=\frac{Re_{x,crit}\,\nu}{U}.\n
Calculando:\n x_{cr}=\frac{5{,}0\times10^{5}\cdot 8{,}02\times10^{-7}}{6{,}0}\approx 6{,}68\times10^{-2}\\ \mathrm{m}=6{,}68\\ \mathrm{cm}.\n
Portanto a placa tem região laminar inicial até cerca de 6{,}7\\ \mathrm{cm} e depois região turbulenta até 60\\ \mathrm{cm}.

Passo 4

Fórmulas que vamos usar (explicando cada termo):\n
Local Nusselt para escoamento laminar sobre placa (perfil térmico desenvolvendo):\n Nu_x^{(lam)} = 0{,}332\;Re_x^{1/2}\;Pr^{1/3},\n
onde \,Re_x=\dfrac{U x}{\nu} e \,Pr já definido. A partir de \,Nu_x obtemos o coeficiente local\n h_x^{(lam)}=\frac{Nu_x^{(lam)}\,k}{x}.\n
Local Nusselt para escoamento turbulento em placa (correlação empírica clássica):\n Nu_x^{(turb)} = 0{,}0296\;Re_x^{4/5}\;Pr^{1/3},\n
válida em geral para Re_x suficientemente grande e 0{,}6\lesssim Pr\lesssim 50. Novamente\n h_x^{(turb)}=\frac{Nu_x^{(turb)}\,k}{x}.\n
Explicação: \,Nu_x é adimensional e relaciona convecção com condução; \,h_x tem unidades \mathrm{W/(m^2K)}. As constantes (0,332 e 0,0296) vêm das soluções/ajustes clássicos da camada limite (Blasius e correlações experimentais).

Passo 5

Cálculo do coeficiente local em x=5\\ \mathrm{cm}=0{,}05\\ \mathrm{m} (parte b):\n
Como x=0{,}05\\ \mathrm{m}<x_{cr}, usamos a fórmula laminar. Primeiro formamos a expressão explícita para h_x^{(lam)}:\n h_x^{(lam)}=0{,}332\;k\;(U/\nu)^{1/2}\;Pr^{1/3}\;x^{-1/2}.\n
Calculemos os fatores numéricos passo a passo:\n
\displaystyle \frac{U}{\nu}=\frac{6{,}0}{8{,}02\times10^{-7}}\approx 7{,}48\times10^{6}.\n
\displaystyle (U/\nu)^{1/2}\approx 2{,}7369\times10^{3}.\n
\displaystyle Pr^{1/3}\approx 5{,}45^{1/3}\approx 1{,}760.\n
Agora o prefator:\n A_{lam}=0{,}332\cdot k\cdot (U/\nu)^{1/2}\cdot Pr^{1/3} \approx 0{,}332\cdot 0{,}613\cdot 2736{,}9\cdot 1{,}760 \approx 981{,}5.\n
Portanto\n h_x^{(lam)}(x)=981{,}5\;x^{-1/2}\quad\text{(unidades: }\mathrm{W/(m^2K)}\text{, }x\text{ em m).}\n
Em x=0{,}05\\ \mathrm{m}:\n h_{x=0{,}05}=981{,}5\cdot (0{,}05)^{-1/2}=981{,}5\cdot \frac{1}{\sqrt{0{,}05}}\approx 981{,}5\cdot 4{,}4721\approx 4{,}39\times10^{3}\\ \mathrm{W/(m^2K)}.\n
Concluímos a parte (b): \,h(5\\ \mathrm{cm})\approx 4{,}39\times10^{3}\\ \mathrm{W/(m^2K)}.

Passo 6

Cálculo do coeficiente médio \,h_{médio}é sobre a placa (parte a) levando em conta laminar até x_{cr} e turbulento depois:\n
Definição: \displaystyle h_{médio}=\frac{1}{L}\int_0^L h_x\,dx.é\n
Vamos dividir a integral em região laminar [0,x_{cr}] e região turbulenta [x_{cr},L].\n
Região laminar: usamos h_x^{(lam)}=A_{lam}x^{-1/2}. Então\n \int_0^{x_{cr}} h_x^{(lam)}\,dx = A_{lam}\int_0^{x_{cr}} x^{-1/2}\,dx = A_{lam}\cdot 2x_{cr}^{1/2}.\n
Já calculamos A_{lam}\approx 981{,}5 e x_{cr}^{1/2}=\sqrt{0{,}0668}\approx 0{,}2585. Assim\n I_{lam} = A_{lam}\cdot 2x_{cr}^{1/2}\approx 981{,}5\cdot 2\cdot 0{,}2585 \approx 507{,}4.\n
Região turbulenta: primeiro formamos o prefator correspondente ao caso turbulento. A expressão geral é\n h_x^{(turb)} = 0{,}0296\;k\;(U/\nu)^{4/5}\;Pr^{1/3}\;x^{-1/5}.\n
Defina A_{turb}=0{,}0296\;k\;(U/\nu)^{4/5}\;Pr^{1/3}. Já temos (U/\nu)\approx 7{,}48\times10^{6}, então\n (U/\nu)^{4/5}\approx (7{,}48\times10^{6})^{0{,}8}\approx 3{,}16\times10^{5}.\n
Logo\n A_{turb}\approx 0{,}0296\cdot 0{,}613\cdot 3{,}16\times10^{5}\cdot 1{,}760 \approx 1{,}01\times10^{4}.\n
A integral na região turbulenta é\n \int_{x_{cr}}^{L} h_x^{(turb)}\,dx = A_{turb}\int_{x_{cr}}^{L} x^{-1/5}\,dx = A_{turb}\cdot \frac{5}{4}\left(L^{4/5}-x_{cr}^{4/5}\right).\n
Calculemos L^{4/5} e x_{cr}^{4/5}:\n L^{4/5}=(0{,}60)^{4/5}\approx 0{,}6646,\qquad x_{cr}^{4/5}=(0{,}0668)^{4/5}\approx 0{,}1146.\n
Assim\n I_{turb}=A_{turb}\cdot \frac{5}{4}\cdot(0{,}6646-0{,}1146)\approx 1{,}01\times10^{4}\cdot 1{,}25\cdot 0{,}55\approx 6{,}94\times10^{3}.\n
Somando as integrais e dividindo por L (para obter a média):\n h_{médio}=\frac{I_{lam}+I_{turb}}{L} \approx \frac{507{,}4 + 6936}{0{,}60}\approx \frac{7443{,}4}{0{,}60}\approx 1{,}24\times10^{4}\\ \mathrm{W/(m^2K)}.é\n
Portanto o coeficiente médio é aproximadamente \,h_{médio}\approx 1{,}24\times10^{4}\\ \mathrm{W/(m^2K)}é.

Passo 7

Cálculo do fluxo de calor total \dot{Q} (parte a):\n
A área da placa é \,A = L\cdot W = 0{,}60\cdot 0{,}60 = 0{,}36\\ \mathrm{m^2}.\n
A taxa total de calor (pressupomos temperatura de parede uniforme) é\n \dot{Q}=h_{médio}\,A\,\Delta T.é\n
Substituindo:\n \dot{Q}\approx 1{,}24\times10^{4}\cdot 0{,}36\cdot 20 \approx 8{,}93\times10^{4}\\ \mathrm{W}=89{,}3\\ \mathrm{kW}.\n
Essa é a taxa de transferência de calor da placa para o escoamento.

Passo 8

Resposta à pergunta (c) sobre onde ocorre o máximo local de h_x descartando transição:\n
Matematicamente, na região laminar temos a dependência\n h_x^{(lam)}\propto x^{-1/2},\n
ou seja, h_x aumenta quando x diminui e tende a infinito quando x\to 0. Portanto, se descartarmos a transição laminar–turbulento e outros efeitos reais (como singularidade no bordo de ataque), o máximo de h_x ocorre no início da placa, isto é, na borda de ataque x=0. Na prática físico-experimental, o máximo será muito próximo de x=0 (o modelo dá singularidade), mas a resposta teórica é x_{\max}=0.

Resposta

a) h_{médio}\approx 1{,}24\times10^{4}\\ \mathrm{W\,m^{-2}K^{-1}},\quad \dot{Q}\approx 8{,}93\times10^{4}\\ \mathrm{W}.é
b) h_{x=0{,}05\\ \mathrm{m}}\approx 4{,}39\times10^{3}\\ \mathrm{W\,m^{-2}K^{-1}}.
c) x_{\max}=0\\ \mathrm{m} (na borda de ataque).

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