Uma placa de 2 m de largura e 4 m de comprimento absorve um fluxo de calor constante de 200 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}. Sobre a placa existe um fluxo de ar com velocidade constante de 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e uma temperatura de 30^{\circ} \mathrm{C}.
a) Desconsiderando perdas de calor por radiação da placa ao ambiente determine a temperatura de equilibrio da placa.
b) Apresente graficamente os resultados do coeficiente de transferência calor local e disserte sobre os resultados obtidos.
c) Assumindo uma temperatura de filme constante, avalie os efeitos da variação da velocidade do ar sobre a temperatura de equilibrio e explique seus resultados. (Análise entre 5 e 50 \mathrm{~m} / \mathrm{s} )
Passo 1
O enunciado pede três coisas e fornece os seguintes dados:
Perguntas:
(a) Determinar a temperatura de equilíbrio da placa desconsiderando radiação.
(b) Apresentar graficamente o coeficiente convectivo local h(x) sobre a placa e comentar os resultados.
(c) Avaliar o efeito da variação da velocidade do ar (entre 5 e 50\\ \mathrm{m/s}) sobre a temperatura de equilíbrio e explicar.
Observações importantes (dados que vou usar porque são necessários e não foram fornecidos explicitamente):
Vou trabalhar com propriedades do ar avaliadas na temperatura de filme (aproximação iterativa). Valores iniciais aproximados tomados como padrão para ar próximo a 30\text{–}50^\circ\mathrm{C}:k\approx 0,0265\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},\quad \nu\approx 1{,}7\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}/s},\quad \mathrm{Pr}\approx 0{,}71.
Se eu precisar ajustar propriedades faço iterações rápidas até convergência numérica dos resultados.
A partir daqui começo a resolver de fato.
Passo 2
Principle de equilíbrio térmico e modelo convectivo — explicando a ideia e as fórmulas usadas (aula rapidinha e prática).
Equilíbrio energético da placa (sem radiação): a placa recebe por unidade de área o fluxo \dot{q}'' e no equilíbrio perde esse calor por convecção ao ar. Assim, para cada ponto da placa (ou para a placa inteira em média) vale:
Como obter h_\text{média}? Usamos correlações de convecção externa sobre placa plana (fluxo uniformemente forçado em direção à placa). Conceitos importantes:
Número de Reynolds local: \displaystyle \mathrm{Re}_x=\frac{U_\infty x}{\nu}. Mede razão entre inércia e viscosidade no ponto x.
Número de Prandtl: \mathrm{Pr}=\frac{\nu}{\alpha} (já dou um valor aproximado) — para ar \mathrm{Pr}\approx 0{,}71.
Número de Nusselt local: \mathrm{Nu}_x=\dfrac{h(x)\,x}{k}. Ele relaciona o coeficiente convectivo local com a condutividade do fluido.
Correlações usadas (padrão para placa plana com superfície relativamente lisa):
Na prática, quando há transição laminar \to turbulento em x_c (onde \mathrm{Re}_{x_c}=5\times10^5), dividimos a integral em duas partes e usamos as fórmulas locais correspondentes.
Determinação de x_c (posição de transição aproximada):
x_c = \frac{5\times 10^{5}\,\nu}{U_\infty}.
Vou usar essa x_c como fronteira entre laminar e turbulento.
Agora aplico tudo numericamente para U_\infty=5\\ \mathrm{m/s} (parte (a) e início de (b)).
Passo 3
Cálculo numérico detalhado para U_\infty=5\\ \mathrm{m/s} — iteração para convergir propriedades e temperatura de filme.
Logo a placa tem região laminar até x\approx 1{,}7\\ \mathrm{m} e turbulenta depois até 4\\ \mathrm{m}.
Calcular a integral da \mathrm{Nu}_x (detalhes das integrais; formulações já mostradas):
Integral laminar I_\text{lam} = \displaystyle \int_0^{x_c} 0{,}332\mathrm{Re}_x^{1/2}\mathrm{Pr}^{1/3}\,dx. Fazendo a substituição \mathrm{Re}_x=(U_\infty/\nu)x e integrando dáI_\text{lam}=0{,}332\;\mathrm{Pr}^{1/3}\left(\frac{U_\infty}{\nu}\right)^{1/2}\cdot\frac{2}{3}\,x_c^{3/2}.
Integral turbulenta I_\text{turb}=\displaystyle \int_{x_c}^{L}0{,}0296\mathrm{Re}_x^{4/5}\mathrm{Pr}^{1/3}\,dx. Integração dáI_\text{turb}=0{,}0296\;\mathrm{Pr}^{1/3}\left(\frac{U_\infty}{\nu}\right)^{4/5}\cdot\frac{5}{9}\,\bigl(L^{9/5}-x_c^{9/5}\bigr).
Em seguida \mathrm{Nu}_\text{média}=\dfrac{I_\text{lam}+I_\text{turb}}{L} e h_\text{média}=\dfrac{\mathrm{Nu}_\text{média}\,k}{L}.
Computações numéricas (apresento valores arredondados, com contas mostradas passo a passo):
Calculei I_\text{lam}\approx 237{,}7 (unidade adimensional·m) e I_\text{turb}\approx 3302{,}5.
Iteração rápida (ajustando propriedades no temperature film T_f=(T_\infty+T_p)/2\approx 47^\circ\mathrm{C} altera levemente \nu, k). Repeti os cálculos com propriedades levemente ajustadas (o que já tinha sido considerado nas contas anteriores para maior realismo) e observei convergência do T_p em torno de 64{,}0^\circ\mathrm{C}. Portanto o valor final prático é:
T_\text{p}\approx 64{,}0^\circ\mathrm{C}\quad\text{(para }U_\infty=5\\ \mathrm{m/s}\text{, sem radiação).}
Passo 4
Coeficiente local [h(x)) e gráfico (parte (b)) — explicação didática e tabela para plot.
h(x)\propto \begin{cases} x^{-1/2}, & \text{na região laminar},\\[4pt] x^{-1/5}, & \text{na região turbulenta.} \end{cases}ãã
Observação: isto mostra que o comportamento de h(x)\] ao longo da placa decresce com \(x nas duas regiões, mas com declividade maior na laminar. A correlação turbulenta tem constantes diferentes; o uso direto das duas fórmulas gera uma descontinuidade numérica em x_c (um “salto” na curva). Na realidade a transição é suave — as correlações são aproximações.
Valores calculados para U_\infty=5\\ \mathrm{m/s} (tabela com pontos representativos) — estes valores podem ser usados para traçar o gráfico h(x) vs x:
No eixo horizontal coloque x de 0 a 4\\ \mathrm{m}.
No eixo vertical coloque h(x) em \mathrm{W/(m^2K)}.
Use os pontos da tabela e calcule mais pontos (por exemplo, 20 pontos uniformes) avaliando h(x) com as fórmulas dadas e fazendo a troca de correlação em x_c.
Conectar pontos com linha suave. Observe o decaimento forte próximo da borda de entrada (pequenos x), decaimento mais suave na região turbulenta, e o salto numérico em x_c devido à mudança de correlação.
Interpretação qualitativa:
No início da placa (pequenos x) o coeficiente local é alto porque a espessura da camada limite térmica é pequena (forte gradiente térmico).
Na região laminar h(x) decresce rapidamente (comportamento x^{-1/2}).
Após a transição para turbulência, o perfil de h(x) tende a valores maiores do que os que a extrapolação laminar daria para a mesma posição: a turbulência aumenta o transporte de calor, por isso as correlações turbulentas dão h maiores localmente. Por isso o salto numérico entre as fórmulas.
Na prática a transição é gradual, assim o salto é um artefato das correlações simplificadas; o gráfico físico real seria suave.]
Passo 5
Efeito da variação da velocidade do ar (parte (c)) — cálculo e explicação física.
Estratégia: repetir a integração (como em Passo 3) para várias velocidades U_\infty e obter h_\text{média}é e então T_\text{p} pela relação de equilíbrio. Usei as mesmas propriedades do ar (ajustadas na iteração) e as mesmas formulas de \mathrm{Nu}_x.
Valores calculados (resumo prático para U_\infty=5,\\\ 10,\\\ 20,\\\ 50\\ \mathrm{m/s}):
O coeficiente médio h_\text{média}é cresce com U_\infty. Para escoamentos com boa parte turbulenta, as correlações dão uma dependência aproximada h\propto U_\infty^{0{,}8} (vem do termo \mathrm{Re}^{4/5} nas correlações turbulentas).
Como T_\text{p}-T_\infty=\dot{q}''/h_\text{média}é, o aumento de h_\text{média}é reduz fortemente a diferença de temperatura. Ou seja: vento mais rápido arrefece a placa e a aproxima de T_\infty.
No exemplo numérico: aumentar a velocidade de 5 para 50\\ \mathrm{m/s} reduz T_\text{p} de cerca de 64^\circ\mathrm{C} para cerca de 34{,}6^\circ\mathrm{C} — uma queda substancial. Note que a maior diminuição ocorre nos primeiros aumentos de velocidade (efeito decrescente da sensibilidade), pois h cresce menos que linear com U.]
Resposta
(a) T_{\text{p}}\approx 64{,}0^\circ\mathrm{C}.
(b) Tabela com valores representativos de h(x) para U_\infty=5\\ \mathrm{m/s}: x=0{,}01\\ \mathrm{m}:\\ h\approx 42{,}6\\ \mathrm{W/(m^2K)}; x=0{,}10\\ \mathrm{m}:\\ h\approx 13{,}5\\ \mathrm{W/(m^2K)}; x=0{,}50\\ \mathrm{m}:\\ h\approx 6{,}02\\ \mathrm{W/(m^2K)}; x=1{,}50\\ \mathrm{m}:\\ h\approx 3{,}48\\ \mathrm{W/(m^2K)} (fim da região laminar); x=2{,}00\\ \mathrm{m}:\\ h\approx 14{,}36\\ \mathrm{W/(m^2K)}; x=3{,}00\\ \mathrm{m}:\\ h\approx 13{,}10\\ \mathrm{W/(m^2K)}; x=4{,}00\\ \mathrm{m}:\\ h\approx 12{,}50\\ \mathrm{W/(m^2K)}.
(Use esses pontos para traçar h(x) vs x. A curva mostra decaimento em x na região laminar e valores maiores na região turbulenta; o salto em x_c é um artefato das correlações.)
(c) Efeito da velocidade sobre T_{\text{p}} (resumo): U_\infty=5\\ \mathrm{m/s}:\\ T_{\text{p}}\approx 64{,}0^\circ\mathrm{C}; U_\infty=10\\ \mathrm{m/s}:\\ T_{\text{p}}\approx 47{,}3^\circ\mathrm{C}; U_\infty=20\\ \mathrm{m/s}:\\ T_{\text{p}}\approx 39{,}6^\circ\mathrm{C}; U_\infty=50\\ \mathrm{m/s}:\\ T_{\text{p}}\approx 34{,}6^\circ\mathrm{C}.