Água a 25^{\circ} \mathrm{C}\left(\rho=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}\right. e \left.\mu=1,0 \times 10^{-3} \mathrm{~Pa} \cdot \mathrm{~s}\right) escoa permanentemente através de um leito fixo de areia formado por grãos aproximadamente esféricos de diâmetro médio d p=150 \mu \mathrm{~m}. A porosidade do leito é \varepsilon=0,7. Considere o comprimento do leito \mathrm{L}=0,50 \mathrm{~m} e a velocidade superficial \mathrm{q}=1,0 \times 10^{-3} \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine a perda de carga do escoamento no meio poroso.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a perda de carga (diferença de pressão) para um escoamento permanente de água através de um leito fixo de areia. Dados fornecidos (vou listar todos explicitamente):
\rho=1000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 (densidade da água)
\mu=1,0\times 10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s} (viscosidade dinâmica)
d_p=150\\ \mu\mathrm{m}=150\times 10^{-6}\\ \mathrm{m} (diâmetro médio dos grãos)
\varepsilon=0,7 (porosidade do leito)
L=0,50\\ \mathrm{m} (comprimento do leito)
q=1,0\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s} (velocidade superficial, vazão volumétrica dividida pela área)
Pergunta: determinar a perda de carga \Delta p ao longo do comprimento L.

Passo 2

Escolha do método e apresentação da equação usada (aula curta sobre o que é e por que usar).
Para escoamento através de um leito de partículas (areia), a equação padrão que relaciona perda de carga por unidade de comprimento com a velocidade superficial é a equação de Ergun. A equação de Ergun combina um termo viscoso (linear em q) e um termo inercial (proporcional a q^2), sendo válida para uma ampla gama de regimes em leitos empacotados.
A forma usada é:
\frac{\Delta p}{L} = \frac{150\,\mu\,(1-\varepsilon)^2}{\varepsilon^3\,d_p^2}\,q \;+\; \frac{1{,}75\,\rho\,(1-\varepsilon)}{\varepsilon^3\,d_p}\,q^2.
Explicando cada símbolo:
  • \Delta p é a queda de pressão total no comprimento L.
  • L é o comprimento do leito.
  • \mu é a viscosidade dinâmica do fluido.
  • \rho é a densidade do fluido.
  • \varepsilon é a porosidade (fração volumétrica de vazio).
  • d_p é o diâmetro médio das partículas (assumidas aproximadamente esféricas).
  • q é a velocidade superficial (volume por área; não é a velocidade dentro dos poros).
Observação didática rápida: o primeiro termo vem da perda viscosa (análogo à lei de Darcy/Poiseuille em canais tortuosos) e o segundo termo representa perdas por inércia/arrasto (como term comum em escoamentos com separação/arrasto em partículas).

Passo 3

Calcular quantidades intermediárias e converter unidades:
d_p = 150\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}
1-\varepsilon = 1-0,7 = 0,3
\varepsilon^3 = (0,7)^3 = 0,343
Vou usar estes valores na equação de Ergun.

Passo 4

Calcular o coeficiente do termo viscoso (o multiplicador de q):
\text{coef}_\text{vis} = \frac{150\,\mu\,(1-\varepsilon)^2}{\varepsilon^3\,d_p^2}.
Substituindo números:
(1-\varepsilon)^2 = (0,3)^2 = 0,09,
d_p^2 = (150\times 10^{-6})^2 = 2{,}25\times 10^{-8}\\ \mathrm{m}^2.
Agora
\text{coef}_\text{vis} = \frac{150 \times (1{,}0\times 10^{-3}) \times 0{,}09}{0{,}343 \times 2{,}25\times 10^{-8}}.
Faço a conta passo a passo:
\text{num} = 150 \times 1{,}0\times 10^{-3}\times 0{,}09 = 0{,}0135.
\text{den} = 0{,}343 \times 2{,}25\times 10^{-8} = 7{,}7175\times 10^{-9}.
\text{coef}_\text{vis} = \frac{0{,}0135}{7{,}7175\times 10^{-9}} \approx 1{,}749\times 10^{6}\\ \mathrm{Pa\cdot s}/\mathrm{m}^2.

Passo 5

Calcular o termo viscoso \left(\frac{\Delta p}{L}\right)_\text{vis} = \text{coef}_\text{vis}\times q:
q = 1{,}0\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s},
\left(\frac{\Delta p}{L}\right)_\text{vis} = 1{,}749\times 10^{6} \times 1{,}0\times 10^{-3} \approx 1{,}749\times 10^{3}\\ \mathrm{Pa}/\mathrm{m}.
Ou seja,
\left(\frac{\Delta p}{L}\right)_\text{vis} \approx 1749\\ \mathrm{Pa}/\mathrm{m}.

Passo 6

Calcular o coeficiente do termo inercial (o multiplicador de q^2):
\text{coef}_\text{inér} = \frac{1{,}75\,\rho\,(1-\varepsilon)}{\varepsilon^3\,d_p}.é
Substituindo:
\text{num} = 1{,}75 \times 1000 \times 0{,}3 = 525.
\text{den} = 0{,}343 \times 150\times 10^{-6} = 5{,}145\times 10^{-5}.
\text{coef}_\text{inér} = \frac{525}{5{,}145\times 10^{-5}} \approx 1{,}0207\times 10^{7}\\ \mathrm{kg}/(\mathrm{m}^4).é
(Unidade: ao multiplicar por q^2 em \mathrm{m}^2/\mathrm{s}^2 resulta em \mathrm{Pa}/\mathrm{m}.)

Passo 7

Calcular o termo inercial \left(\frac{\Delta p}{L}\right)_\text{inér} = \text{coef}_\text{inér}\times q^2éé:
q^2 = (1{,}0\times 10^{-3})^2 = 1{,}0\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}^2,
\left(\frac{\Delta p}{L}\right)_\text{inér} = 1{,}0207\times 10^{7}\times 1{,}0\times 10^{-6} \approx 10{,}21\\ \mathrm{Pa}/\mathrm{m}.é

Passo 8

Somar os dois termos para obter \Delta p / L e depois multiplicar por L para obter \Delta p:
\frac{\Delta p}{L} = 1749 + 10{,}21 \approx 1759{,}21\\ \mathrm{Pa}/\mathrm{m}.
Multiplicando por L=0{,}50\\ \mathrm{m}:
\Delta p = 1759{,}21 \times 0{,}50 \approx 879{,}6\\ \mathrm{Pa}.
Arredondando de forma razoável (dados fornecidos têm cerca de 2–3 algarismos significativos):
\Delta p \approx 880\\ \mathrm{Pa}.

Passo 9

Interpretação física e verificação rápida (aula curta): justificar que o termo viscoso domina.
Calculo do número de Reynolds característico (usando a velocidade superficial) para verificar regime:
\mathrm{Re}_p = \frac{\rho\,q\,d_p}{\mu} = \frac{1000 \times 1{,}0\times 10^{-3}\times 150\times 10^{-6}}{1{,}0\times 10^{-3}} = 0{,}15.
Mesmo se eu usar a velocidade intersticial u=q/\varepsilon teria \mathrm{Re}\approx 0{,}21. Ambos são muito baixos ( <1), o que indica regime laminar dentro dos poros, então faz sentido o termo viscoso ser muito maior que o termo inercial. De fato, o termo viscoso contribuiu com cerca de 1749/1759\approx 99{,}4\% da perda de carga por metro.

Passo 10

Dicas rápidas para a prova (como eu resolveria rápido):
  • Identifique dados e converta d_p para metros.
  • Use a equação de Ergun diretamente (decora a forma) e calcule primeiro coeficientes numéricos do termo viscoso e inercial.
  • Verifique \mathrm{Re}_p para saber qual termo domina e para checar consistência do resultado.
  • Multiplique \Delta p/L por L para obter \Delta p.

Resposta

\Delta p \approx 880\\ \mathrm{Pa}

Exercícios relacionados