Água a
e
escoa permanentemente através de um leito fixo de areia formado por grãos aproximadamente esféricos de diâmetro médio
. A porosidade do leito é
. Considere o comprimento do leito
e a velocidade superficial
. Determine a perda de carga do escoamento no meio poroso.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a perda de carga (diferença de pressão) para um escoamento permanente de água através de um leito fixo de areia. Dados fornecidos (vou listar todos explicitamente):
Pergunta: determinar a perda de carga
ao longo do comprimento
.
Passo 2
Escolha do método e apresentação da equação usada (aula curta sobre o que é e por que usar).
Para escoamento através de um leito de partículas (areia), a equação padrão que relaciona perda de carga por unidade de comprimento com a velocidade superficial é a equação de Ergun. A equação de Ergun combina um termo viscoso (linear em ) e um termo inercial (proporcional a
), sendo válida para uma ampla gama de regimes em leitos empacotados.
Para escoamento através de um leito de partículas (areia), a equação padrão que relaciona perda de carga por unidade de comprimento com a velocidade superficial é a equação de Ergun. A equação de Ergun combina um termo viscoso (linear em
A forma usada é:
Explicando cada símbolo:
-
é a queda de pressão total no comprimento . -
é o comprimento do leito. -
é a viscosidade dinâmica do fluido. -
é a densidade do fluido. -
é a porosidade (fração volumétrica de vazio). -
é o diâmetro médio das partículas (assumidas aproximadamente esféricas). -
é a velocidade superficial (volume por área; não é a velocidade dentro dos poros).
Observação didática rápida: o primeiro termo vem da perda viscosa (análogo à lei de Darcy/Poiseuille em canais tortuosos) e o segundo termo representa perdas por inércia/arrasto (como term comum em escoamentos com separação/arrasto em partículas).
Passo 3
Calcular quantidades intermediárias e converter unidades:
Vou usar estes valores na equação de Ergun.
Passo 4
Calcular o coeficiente do termo viscoso (o multiplicador de
):
Substituindo números:
Agora
Faço a conta passo a passo:
Passo 5
Calcular o termo viscoso
:
Ou seja,
Passo 6
Calcular o coeficiente do termo inercial (o multiplicador de
):
Substituindo:
(Unidade: ao multiplicar por
em
resulta em
.)
Passo 7
Calcular o termo inercial
:
Passo 8
Somar os dois termos para obter
e depois multiplicar por
para obter
:
Multiplicando por
:
Arredondando de forma razoável (dados fornecidos têm cerca de 2–3 algarismos significativos):
Passo 9
Interpretação física e verificação rápida (aula curta): justificar que o termo viscoso domina.
Calculo do número de Reynolds característico (usando a velocidade superficial) para verificar regime:
Mesmo se eu usar a velocidade intersticial
teria
. Ambos são muito baixos (
), o que indica regime laminar dentro dos poros, então faz sentido o termo viscoso ser muito maior que o termo inercial. De fato, o termo viscoso contribuiu com cerca de
da perda de carga por metro.
Passo 10
Dicas rápidas para a prova (como eu resolveria rápido):
- Identifique dados e converta
para metros. - Use a equação de Ergun diretamente (decora a forma) e calcule primeiro coeficientes numéricos do termo viscoso e inercial.
- Verifique
para saber qual termo domina e para checar consistência do resultado. - Multiplique
por para obter .