Uma suspensão com 167 g de sólidos por quilo de água deve ser espessada até uma concentração final de
, dando um líquido perfeitamente clarificado. Cinco ensaios foram realizados em laboratório, obtendo-se os resultados da tabela abaixo. Calcular o diâmetro que deverá ter o decantador para uma vazão de sólidos de 40 t/h.
Ensaio
Concentração (kg sólidos/kg água)
Velocidade de decantação (m/h)
1
0,167
0,665
2
0,202
0,363
3
0,250
0,262
4
0,285
0,236
5
0,333
0,186
| Ensaio | Concentração (kg sólidos/kg água) | Velocidade de decantação (m/h) |
| 1 | 0,167 | 0,665 |
| 2 | 0,202 | 0,363 |
| 3 | 0,250 | 0,262 |
| 4 | 0,285 | 0,236 |
| 5 | 0,333 | 0,186 |
Passo 1
O enunciado pede para determinar o diâmetro do decantador (assumindo seção circular) para uma vazão de sólidos de
, sabendo que a suspensão inicial tem
de sólidos por quilo de água e que a concentração final desejada no espessado é
de água, com líquido perfeitamente clarificado. Foram obtidos cinco ensaios de velocidade de decantação que aparecem na tabela:
Informações relevantes e fixas que usaremos: vazão de sólidos
; concentração final (no espessado)
(já em
). Os ensaios nos dão a velocidade de decantação
em função da concentração
; precisamos usar essa relação para avaliar a velocidade à concentração final e daí obter a área necessária do decantador e, por fim, o diâmetro.
Passo 2
Escolha do método e fórmula chave (explicada com calma).
Em um espessador operando com clarificação perfeita (todo sólido vai para o fundo), a taxa máxima de remoção de sólidos por unidade de área (fluxo areal de sólidos) é dada por:
Em um espessador operando com clarificação perfeita (todo sólido vai para o fundo), a taxa máxima de remoção de sólidos por unidade de área (fluxo areal de sólidos) é dada por:
onde
-
é a velocidade de decantação (m/h) à concentração , -
é a concentração expressa em , -
é a densidade da água (usaremos ).
Justificativa simples:
tem unidade de comprimento/tempo (m/h). Multiplicando por
(kg sólidos/kg água) e por
(kg água/m^3) obtemos kg sólidos por (m^2·h), que é exatamente o fluxo de sólidos que pode atravessar uma unidade de área por hora devido ao assentamento. Para uma vazão de sólidos
(kg/h), a área necessária é
Finalmente, para um decantador circular de área
, o diâmetro
é
Portanto o passo-chave é obter
. Para isso vamos ajustar uma função empírica aos dados experimentais.
Passo 3
Ajuste empírico de
.
Observação prática: as velocidades de assentamento costumam decrescer fortemente com a concentração; uma forma simples e razoável é ajustar uma dependência exponencial
Observação prática: as velocidades de assentamento costumam decrescer fortemente com a concentração; uma forma simples e razoável é ajustar uma dependência exponencial
que ao aplicar logaritmo natural vira uma regressão linear
Vamos calcular
para cada ensaio e fazer a regressão linear
, com
e
.
Dados (coluna adicional com
):
Agora somatórios necessários (com 5 pontos):
Coeficientes da regressão
com
. Calculando:
Portanto
e obtemos a relação ajustada
Comentário rápido: expliquei os passos porque na prova você pode fazer uma regressão linear simples em papel: compute
, some as colunas e aplique as fórmulas acima.
Passo 4
Avaliar
na concentração final
.
Usando a função ajustada,
Usando a função ajustada,
Calculemos o expoente:
Assim
e então
Observação amigável: essa velocidade é muito baixa — é normal em concentrações altas o assentamento ficar muito lento.
Passo 5
Calcular o fluxo areal de sólidos
à concentração
:
Substituindo
,
e
:
Interpretação: cada metro quadrado de área do espessador pode remover, por assentamento, cerca de
de sólidos por hora nas condições desejadas.
Passo 6
Área necessária
:
Passo 7
Converter área em diâmetro
para seção circular:
Comentário final de colega: o diâmetro calculado é muito grande — isso acontece porque a velocidade de assentamento a
ficou extremamente baixa. Na prática, engenheiros podem optar por operar com vários espessadores em paralelo, usar polímeros floculantes para aumentar as taxas de decantação, reduzir a concentração alvo ou empregar outras estratégias. Mas matematicamente, seguindo os dados e hipóteses dadas, este é o resultado.