Uma suspensão com 167 g de sólidos por quilo de água deve ser espessada até uma concentração final de 893 \mathrm{~g} / \mathrm{kg}, dando um líquido perfeitamente clarificado. Cinco ensaios foram realizados em laboratório, obtendo-se os resultados da tabela abaixo. Calcular o diâmetro que deverá ter o decantador para uma vazão de sólidos de 40 t/h.
Ensaio Concentração (kg sólidos/kg água) Velocidade de decantação (m/h)
1 0,167 0,665
2 0,202 0,363
3 0,250 0,262
4 0,285 0,236
5 0,333 0,186

Passo 1

O enunciado pede para determinar o diâmetro do decantador (assumindo seção circular) para uma vazão de sólidos de 40\\ \mathrm{t/h}, sabendo que a suspensão inicial tem 167\\ \mathrm{g} de sólidos por quilo de água e que a concentração final desejada no espessado é 893\\ \mathrm{g/kg} de água, com líquido perfeitamente clarificado. Foram obtidos cinco ensaios de velocidade de decantação que aparecem na tabela:
\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Ensaio} & \text{Concentração }(\text{kg sólidos}/\text{kg água}) & \text{Velocidade }( \mathrm{m/h})\\\ \hline 1 & 0,167 & 0,665\\\ \hline 2 & 0,202 & 0,363\\\ \hline 3 & 0,250 & 0,262\\\ \hline 4 & 0,285 & 0,236\\\ \hline 5 & 0,333 & 0,186\\\ \hline \end{array}
Informações relevantes e fixas que usaremos: vazão de sólidos S = 40\\ \mathrm{t/h} = 40000\\ \mathrm{kg/h}; concentração final (no espessado) C_f = 0,893 (já em \mathrm{kg\;sólidos}/\mathrm{kg\;água}óá). Os ensaios nos dão a velocidade de decantação v em função da concentração C; precisamos usar essa relação para avaliar a velocidade à concentração final e daí obter a área necessária do decantador e, por fim, o diâmetro.

Passo 2

Escolha do método e fórmula chave (explicada com calma).
Em um espessador operando com clarificação perfeita (todo sólido vai para o fundo), a taxa máxima de remoção de sólidos por unidade de área (fluxo areal de sólidos) é dada por:
J_s = v\text{(C)}\;C\;\rho_w
onde
  • v\text{(C)} é a velocidade de decantação (m/h) à concentração C,
  • C é a concentração expressa em \mathrm{kg\;sólidos}/\mathrm{kg\;água}óá,
  • \rho_w é a densidade da água (usaremos \rho_w=1000\\ \mathrm{kg/m^3}).
Justificativa simples: v\text{(C)} tem unidade de comprimento/tempo (m/h). Multiplicando por C (kg sólidos/kg água) e por \rho_w (kg água/m^3) obtemos kg sólidos por (m^2·h), que é exatamente o fluxo de sólidos que pode atravessar uma unidade de área por hora devido ao assentamento. Para uma vazão de sólidos S (kg/h), a área necessária é
A=\frac{S}{J_s}=\frac{S}{v(C_f)\;C_f\;\rho_w}.
Finalmente, para um decantador circular de área A, o diâmetro D é
D=\sqrt{\frac{4A}{\pi}}.
Portanto o passo-chave é obter v(C_f). Para isso vamos ajustar uma função empírica aos dados experimentais.

Passo 3

Ajuste empírico de v\text{(C)}.
Observação prática: as velocidades de assentamento costumam decrescer fortemente com a concentração; uma forma simples e razoável é ajustar uma dependência exponencial
v\text{(C)}=a\;\exp(b\,C),
que ao aplicar logaritmo natural vira uma regressão linear
\ln v = \ln a + b\,C.
Vamos calcular \ln v para cada ensaio e fazer a regressão linear \ln v = \alpha + \beta C, com \alpha=\ln a e \beta=b.
Dados (coluna adicional com \ln v):
\begin{array}{c|c|c|c} \text{Ensaio} & C & v\\ (\mathrm{m/h}) & \ln v\\hline 1 & 0,167 & 0,665 & -0,4075\\\\ 2 & 0,202 & 0,363 & -1,0141\\\\ 3 & 0,250 & 0,262 & -1,3370\\\\ 4 & 0,285 & 0,236 & -1,4447\\\\ 5 & 0,333 & 0,186 & -1,6810 \end{array}
Agora somatórios necessários (com 5 pontos):
\sum C = 1,237,\qquad \sum \ln v = -5,8843,
\sum C\ln v = -1,5781,\qquad \sum C^2 = 0,323307.
Coeficientes da regressão
\beta=\frac{n\sum (C\ln v)-(\sum C)(\sum \ln v)}{n\sum C^2 - (\sum C)^2}
\alpha=\frac{\sum \ln v - \beta\sum C}{n},
com n=5. Calculando:
\beta \approx -7{,}005,\qquad \alpha \approx 0{,}5563.
Portanto a=\exp(\alpha)\approx 1{,}7438 e obtemos a relação ajustada
v\text{(C)} \approx 1{,}7438\;\exp\bigl(-7{,}005\;C\bigr)\quad (\mathrm{m/h}).
Comentário rápido: expliquei os passos porque na prova você pode fazer uma regressão linear simples em papel: compute \ln v, some as colunas e aplique as fórmulas acima.

Passo 4

Avaliar v na concentração final C_f=0{,}893.
Usando a função ajustada,
v(C_f) = 1{,}7438\;\exp(-7{,}005\cdot 0{,}893).
Calculemos o expoente:
-7{,}005\cdot 0{,}893 \approx -6{,}2556.
Assim
\exp(-6{,}2556)\approx 0{,}00192,
e então
v(C_f)\approx 1{,}7438\times 0{,}00192 \approx 0{,}003345\\ \mathrm{m/h}.
Observação amigável: essa velocidade é muito baixa — é normal em concentrações altas o assentamento ficar muito lento.

Passo 5

Calcular o fluxo areal de sólidos J_s à concentração C_f:
J_s = v(C_f)\;C_f\;\rho_w.
Substituindo v(C_f)=0{,}003345\\ \mathrm{m/h}, C_f=0{,}893 e \rho_w=1000\\ \mathrm{kg/m^3}:
J_s \approx 0{,}003345\times 0{,}893 \times 1000 \approx 2{,}987\\ \mathrm{kg/(m^2\cdot h)}.
Interpretação: cada metro quadrado de área do espessador pode remover, por assentamento, cerca de 2{,}987\\ \mathrm{kg} de sólidos por hora nas condições desejadas.

Passo 6

Área necessária A:
A=\frac{S}{J_s}=\frac{40000\\ \mathrm{kg/h}}{2{,}987\\ \mathrm{kg/(m^2\cdot h)}}\approx 13392\\ \mathrm{m^2}.

Passo 7

Converter área em diâmetro D para seção circular:
D=\sqrt{\frac{4A}{\pi}}=\sqrt{\frac{4\cdot 13392}{\pi}}\approx 130{,}6\\ \mathrm{m}.
Comentário final de colega: o diâmetro calculado é muito grande — isso acontece porque a velocidade de assentamento a C_f ficou extremamente baixa. Na prática, engenheiros podem optar por operar com vários espessadores em paralelo, usar polímeros floculantes para aumentar as taxas de decantação, reduzir a concentração alvo ou empregar outras estratégias. Mas matematicamente, seguindo os dados e hipóteses dadas, este é o resultado.

Resposta

D=130{,}6\\ \mathrm{m}

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