Realizou-se um teste de filtração num filtro-prensa de laboratório, à pressão constante de 340 kPa e recolheram-se os seguintes volumes de filtrado (ver tabela). A área deste filtro de laboratório é de 0,186 \mathrm{~m}^{2}. Se num filtro à escala industrial se pretender filtrar uma suspensão 50 \% mais concentrada, contendo o mesmo material, com um \Delta \mathrm{P} 2=270 \mathrm{kPa}. Estimar a quantidade de filtrado que passa ao fim de uma hora, se a área do filtro for 9,3 \mathrm{~m}^{2}.
Tempo (min) Volume filtrado (kg)
8 20
26 40
54,5 60
93 80

Passo 1

O enunciado pede que eu estime a quantidade de filtrado que passa ao fim de uma hora num filtro industrial, sabendo os resultados de um ensaio de laboratório. Dados fornecidos (vou listar exatamente o que o enunciado dá):
  • Pressão do ensaio de laboratório: \Delta P_1 = 340\\ \mathrm{kPa}.
  • Área do filtro de laboratório: A_1 = 0,186\\ \mathrm{m}^2.
  • Tabela do ensaio de laboratório (os volumes estão dados em kg — vou tratar isso abaixo): \begin{array}{|c|c|} \hline \text{Tempo (min)} & \text{Volume filtrado (kg)} \\\ \hline 8 & 20 \\\ \hline 26 & 40 \\\ \hline 54{,}5 & 60 \\\ \hline 93 & 80 \\\ \hline \end{array}
  • Condições do filtro industrial desejado:
    • suspensão 50\% mais concentrada, ou seja c_2 = 1{,}5\,c_1 (onde c_1 é a concentração do ensaio de laboratório);
    • pressão de filtração: \Delta P_2 = 270\\ \mathrm{kPa};
    • área do filtro industrial: A_2 = 9,3\\ \mathrm{m}^2.
  • Tempo de interesse: 1 hora =60 min.
O que eu preciso estimar: o volume (ou massa) de filtrado que passa no filtro industrial ao fim de uma hora.
Observação importante que vou usar (não posso perguntar mais dados): vou assumir que a fase filtrada tem densidade \rho = 1000\\ \mathrm{kg/m}^3 (água), de modo que a massa em kg dada na tabela corresponde a volume em \mathrm{m}^3 por V(\mathrm{m}^3)=\text{massa (kg)}/1000. Se a densidade for diferente isso altera linearmente a conversão massa↔volume, mas o procedimento permanece o mesmo.

Passo 2

Princípio e fórmula que vou usar (explicação didática curta). No escoamento de filtrado a pressão constante a equação clássica da filtração por leito de torta (cake filtration), linearizada, é:
\frac{t}{V} = \frac{\mu\,\alpha\,c}{2\,A^2\,\Delta P}\,V + \frac{\mu\,R_m}{A\,\Delta P},
onde:
  • t é o tempo desde o início da filtração (s);
  • V é o volume total de filtrado acumulado (m^3);
  • \mu é a viscosidade do fluido (Pa·s);
  • \alpha é a resistência específica da torta (m/kg);
  • c é a concentração de sólidos na suspensão (kg sólidos por m^3 de suspensão);
  • A é a área do filtro (m^2);
  • \Delta P é a pressão de filtração (Pa);
  • R_m é a resistência do meio filtrante (m^{-1}).
Por que essa forma é útil? Porque \dfrac{t}{V} é função linear de V: se eu plotar \dfrac{t}{V} contra V obtenho uma reta onde o coeficiente angular (slope) é \dfrac{\mu\alpha c}{2A^2\Delta P} e o intercepto é \dfrac{\mu R_m}{A\Delta P}. Assim, a partir dos dados de laboratório posso obter dois parâmetros (slope e intercept) que combinam as quantidades físicas citadas. Depois eu escalo esses parâmetros para as condições industriais usando relações algébricas (explicarei adiante).

Passo 3

Converter os dados experimentais para unidades SI consistentes (tempo em segundos, volume em \mathrm{m}^3). Usando a suposição \rho=1000\\ \mathrm{kg/m}^3:
Tabela convertida:
\begin{array}{ccc} \text{Tempo (min)} & t\\ (\mathrm{s}) & V\\ (\mathrm{m}^3) \\\\ 8 & 480 & \dfrac{20}{1000}=0{,}02 \\\\ 26 & 1560 & \dfrac{40}{1000}=0{,}04 \\\\ 54{,}5 & 3270 & \dfrac{60}{1000}=0{,}06 \\\\ 93 & 5580 & \dfrac{80}{1000}=0{,}08 \\\ \end{array}
Calculo de \dfrac{t}{V} para cada ponto (em \mathrm{s/m}^3):
\begin{aligned} \frac{480}{0{,}02} &= 24000,\\[4pt] \frac{1560}{0{,}04} &= 39000,\\[4pt] \frac{3270}{0{,}06} &= 54500,\\[4pt] \frac{5580}{0{,}08} &= 69750. \end{aligned}
Esses são os pares (V,\\ t/V) que vou ajustar por regressão linear.]

Passo 4

Ajuste linear por mínimos quadrados (fórmula e cálculo explícito). Para os pontos (x_i,y_i) com x_i=V_i e y_i=t_i/V_i, a reta y=m_1 x + b_1 tem coeficientes:
m_1=\frac{n\sum x_i y_i - \left(\sum x_i\right)\left(\sum y_i\right)}{n\sum x_i^2 - \left(\sum x_i\right)^2},\qquad b_1=\frac{\sum y_i - m_1\sum x_i}{n}.
Cálculo dos somatórios (com os V em \mathrm{m}^3 e t/V em \mathrm{s/m}^3):
\begin{aligned} n&=4,\\[4pt] \sum x_i &= 0{,}02+0{,}04+0{,}06+0{,}08 = 0{,}20,\\[4pt] \sum y_i &= 24000+39000+54500+69750 = 187250,\\[4pt] \sum x_i^2 &= 0{,}02^2+0{,}04^2+0{,}06^2+0{,}08^2 = 0{,}012,\\[4pt] \sum x_i y_i &= 0{,}02\cdot24000 + 0{,}04\cdot39000 + 0{,}06\cdot54500 + 0{,}08\cdot69750 = 10890. \end{aligned}
Aplicando as fórmulas:
\begin{aligned} m_1 &= \frac{4\cdot10890 - 0{,}20\cdot187250}{4\cdot0{,}012 - 0{,}20^2} = \frac{43560 - 37450}{0{,}048 - 0{,}04}} = \frac{6110}{0{,}008} = 763{,}750\\ \mathrm{s/m}^6,\\[6pt] b_1 &= \frac{187250 - 763{,}750\cdot0{,}20}{4} = \frac{187250 - 152750}{4} = \frac{34500}{4} = 8625\\ \mathrm{s/m}^3. \end{aligned}
Interpretação: para o ensaio de laboratório obtive a reta
\frac{t}{V} = 763{,}750\,V + 8625,
com t em s e V em \mathrm{m}^3.]

Passo 5

Relação entre os parâmetros experimentais e os parâmetros físicos e como escalonar para as condições industriais.
Do modelo:
m_1=\frac{\mu\,\alpha\,c_1}{2A_1^2\Delta P_1},\qquad b_1=\frac{\mu\,R_m}{A_1\Delta P_1}.
Nas condições industriais (substituindo c_2=1{,}5c_1, A_2, \Delta P_2) teremos:
m_2=\frac{\mu\,\alpha\,c_2}{2A_2^2\Delta P_2} = m_1\cdot\frac{c_2}{c_1}\cdot\frac{A_1^2\Delta P_1}{A_2^2\Delta P_2},
b_2=\frac{\mu\,R_m}{A_2\Delta P_2} = b_1\cdot\frac{A_1\Delta P_1}{A_2\Delta P_2}.
Essas relações permitem calcular m_2 e b_2 apenas a partir de m_1,b_1 e das razões geométricas/pressões e do fator de concentração.

Passo 6

Cálculo numérico de m_2 e b_2.
Primeiro calculo os fatores numéricos:
  • Fator para m:
\frac{c_2}{c_1}=1{,}5,\qquad \frac{A_1}{A_2}=\frac{0{,}186}{9{,}3}=0{,}02,\quad\text{logo}\quad \frac{A_1^2}{A_2^2}=0{,}02^2=0{,}0004,
\frac{\Delta P_1}{\Delta P_2}=\frac{340}{270}\approx 1{,}259259.
Assim o fator multiplicativo para m é
k_m = 1{,}5\cdot0{,}0004\cdot1{,}259259 \approx 0{,}0007555556.
Portanto
m_2 = m_1\cdot k_m \approx 763{,}750\cdot0{,}0007555556 \approx 577{,}056\\ \mathrm{s/m}^6.
  • Fator para b:
k_b = \frac{A_1\Delta P_1}{A_2\Delta P_2} = \frac{0{,}186\cdot340}{9{,}3\cdot270} = \frac{63{,}24}{2511} \approx 0{,}02518.
Portanto
b_2 = b_1\cdot k_b \approx 8625\cdot0{,}02518 \approx 217{,}178\\ \mathrm{s/m}^3.
Assim a equação de filtração para o filtro industrial é
\frac{t}{V} = m_2 V + b_2 \quad\text{com}\quad m_2\approx 577{,}056,\; b_2\approx 217{,}178.

Passo 7

Resolver para o volume V quando t=1\\ \mathrm{h}=3600\\ \mathrm{s}.
Da equação \dfrac{t}{V}=m_2 V + b_2 obtém-se
t = m_2 V^2 + b_2 V.
Isso é uma equação quadrática em V:
m_2 V^2 + b_2 V - t = 0.
Resolvo com a fórmula quadrática (escolhendo a raiz positiva):
V=\frac{-b_2 + \sqrt{b_2^2 + 4 m_2 t}}{2 m_2}.
Calculo discriminante e raiz:
\begin{aligned} b_2^2 &\approx (217{,}178)^2 \approx 47166{,}05,\\[4pt] 4 m_2 t & = 4\cdot577{,}056\cdot3600 \approx 8{,}309{,}600{,}64,\\[4pt] \sqrt{b_2^2 + 4 m_2 t} &\approx \sqrt{8{,}356{,}766{,}69} \approx 2890{,}86. \end{aligned}
Portanto
V \approx \frac{-217{,}178 + 2890{,}86}{2\cdot577{,}056} = \frac{2673{,}682}{1154{,}112} \approx 2{,}318\\ \mathrm{m}^3.
Convertendo para massa usando \rho=1000\\ \mathrm{kg/m}^3:
\text{massa} \approx 2{,}318\\ \mathrm{m}^3 \times 1000\\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3} = 2318\\ \mathrm{kg}.
Interpretação final: ao fim de 1 hora, nas condições industriais dadas, estimo cerca de 2{,}318\\ \mathrm{m}^3 de filtrado, i.e. aproximadamente 2318\\ \mathrm{kg}.]

Resposta

V=2,318\\ \mathrm{m}^3
m=2{,}318\times10^{3}\\ \mathrm{kg}

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