Realizou-se um teste de filtração num filtro-prensa de laboratório, à pressão constante de 340 kPa e recolheram-se os seguintes volumes de filtrado (ver tabela). A área deste filtro de laboratório é de
. Se num filtro à escala industrial se pretender filtrar uma suspensão
mais concentrada, contendo o mesmo material, com um
. Estimar a quantidade de filtrado que passa ao fim de uma hora, se a área do filtro for
.
Tempo (min)
Volume filtrado (kg)
8
20
26
40
54,5
60
93
80
| Tempo (min) | Volume filtrado (kg) |
| 8 | 20 |
| 26 | 40 |
| 54,5 | 60 |
| 93 | 80 |
Passo 1
O enunciado pede que eu estime a quantidade de filtrado que passa ao fim de uma hora num filtro industrial, sabendo os resultados de um ensaio de laboratório. Dados fornecidos (vou listar exatamente o que o enunciado dá):
- Pressão do ensaio de laboratório:
. - Área do filtro de laboratório:
. - Tabela do ensaio de laboratório (os volumes estão dados em kg — vou tratar isso abaixo):
- Condições do filtro industrial desejado:
- suspensão
mais concentrada, ou seja (onde é a concentração do ensaio de laboratório); - pressão de filtração:
; - área do filtro industrial:
.
- suspensão
- Tempo de interesse: 1 hora
min.
O que eu preciso estimar: o volume (ou massa) de filtrado que passa no filtro industrial ao fim de uma hora.
Observação importante que vou usar (não posso perguntar mais dados): vou assumir que a fase filtrada tem densidade
(água), de modo que a massa em kg dada na tabela corresponde a volume em
por
. Se a densidade for diferente isso altera linearmente a conversão massa↔volume, mas o procedimento permanece o mesmo.
Passo 2
Princípio e fórmula que vou usar (explicação didática curta). No escoamento de filtrado a pressão constante a equação clássica da filtração por leito de torta (cake filtration), linearizada, é:
onde:
-
é o tempo desde o início da filtração (s); -
é o volume total de filtrado acumulado (m^3); -
é a viscosidade do fluido (Pa·s); -
é a resistência específica da torta (m/kg); -
é a concentração de sólidos na suspensão (kg sólidos por m^3 de suspensão); -
é a área do filtro (m^2); -
é a pressão de filtração (Pa); -
é a resistência do meio filtrante (m^{-1}).
Por que essa forma é útil? Porque
é função linear de
: se eu plotar
contra
obtenho uma reta onde o coeficiente angular (slope) é
e o intercepto é
. Assim, a partir dos dados de laboratório posso obter dois parâmetros (slope e intercept) que combinam as quantidades físicas citadas. Depois eu escalo esses parâmetros para as condições industriais usando relações algébricas (explicarei adiante).
Passo 3
Converter os dados experimentais para unidades SI consistentes (tempo em segundos, volume em
). Usando a suposição
:
Tabela convertida:
Calculo de
para cada ponto (em
):
Esses são os pares
que vou ajustar por regressão linear.]
Passo 4
Ajuste linear por mínimos quadrados (fórmula e cálculo explícito). Para os pontos
com
e
, a reta
tem coeficientes:
Cálculo dos somatórios (com os
em
e
em
):
Aplicando as fórmulas:
Interpretação: para o ensaio de laboratório obtive a reta
com
em s e
em
.]
Passo 5
Relação entre os parâmetros experimentais e os parâmetros físicos e como escalonar para as condições industriais.
Do modelo:
Nas condições industriais (substituindo
,
,
) teremos:
Essas relações permitem calcular
e
apenas a partir de
e das razões geométricas/pressões e do fator de concentração.
Passo 6
Cálculo numérico de
e
.
Primeiro calculo os fatores numéricos:
- Fator para
:
Assim o fator multiplicativo para
é
Portanto
- Fator para
:
Portanto
Assim a equação de filtração para o filtro industrial é
Passo 7
Resolver para o volume
quando
.
Da equação
obtém-se
Isso é uma equação quadrática em
:
Resolvo com a fórmula quadrática (escolhendo a raiz positiva):
Calculo discriminante e raiz:
Portanto
Convertendo para massa usando
:
Interpretação final: ao fim de 1 hora, nas condições industriais dadas, estimo cerca de
de filtrado, i.e. aproximadamente
.]