Questão 2 (1,5 Pontos) - Considere uma placa vertical aquecida mantida a uma temperatura constante maior que a do ar ambiente. Explique qualitativamente como se desenvolvem a camada limite térmica e a camada limite de velocidade nesse caso. Discuta a influência do número de Grashof e do número de Rayleigh no regime do escoamento e na taxa de transferência de calor.

Passo 1

O enunciado trata de convecção natural em uma placa vertical mantida a uma temperatura constante acima do ar ambiente. O conteúdo é a formação das camadas limites de velocidade e térmica e o papel dos números de Grashof e de Rayleigh no regime de escoamento e na taxa de transferência de calor. Para resolver precisamos entender como a diferença de temperatura gera movimento por força de empuxo e como isso afeta o desenvolvimento dessas camadas, além de conhecer as definições e interpretações físicas de \text{Gr} e \text{Ra}.

Passo 2

Logo que o ar em contato com a placa é aquecido, sua densidade diminui e surge uma força de empuxo que faz o fluido ascender ao longo da parede. Esse movimento cria uma camada limite de velocidade, de espessura \delta(x), em que a velocidade varia de zero na parede até quase zero longe dela. Simultaneamente surge uma camada limite térmica, de espessura \delta_t(x), em que a temperatura varia de \,T_{\rm parede} na parede até T_\infty no fluido distante. Para x\to0 ambas as espessuras são nulas e crescem com x à medida que o escoamento ascendente se intensifica.

Passo 3

O balanço entre condução térmica e difusão de momento diz que
\displaystyle \frac{\delta_t}{\delta}\sim \Pr^{-1/3} no regime laminar (para 0{,}1\lesssim\Pr\lesssim10). Assim, se \Pr>1 a camada térmica é mais fina que a de velocidade; se \Pr<1, ocorre o contrário. Essa diferença explica por que o perfil de temperatura e o perfil de velocidade têm curvaturas distintas nas proximidades da parede.

Passo 4

O número de Grashof é definido por
\text{Gr}_L = \frac{g\,\beta\,\Delta T\,L^3}{\nu^2},
onde g é a aceleração da gravidade, \beta o coeficiente de expansão térmica, \Delta T=T_{\rm parede}-T_\infty, L o comprimento característico vertical e \nu a viscosidade cinemática. Fisicamente, \text{Gr} compara a força de empuxo com as forças viscosas. Para \text{Gr}\lesssim10^9 o escoamento ao longo da placa permanece laminar; para \text{Gr}\gtrsim10^9 surge transição e depois turbulência na região superior da placa.

Passo 5

O número de Rayleigh é
\text{Ra}_L=\text{Gr}_L\,\Pr,
e quantifica a facilidade do calor ser transportado por convecção em vez de condução pura. A taxa de transferência de calor, caracterizada pelo número de Nusselt médio
\text{Nu}_L, cresce com \text{Ra}_L segundo correlações do tipo
\text{Nu}_L \sim C\,\text{Ra}_L^n,
em que n\approx1/4 para escoamento laminar e n\approx1/3 quando há regiões turbulentas. Assim, ao aumentar \Delta T ou L, cresce \text{Ra}_L, as camadas ficam mais finas e a convecção se torna mais eficiente.

Resposta

A camada limite de velocidade se forma porque o ar aquecido junto à placa perde densidade e tende a subir, criando um perfil de velocidade que cresce da parede para o exterior. A camada térmica surge em paralelo, com variação de temperatura de T_{\rm parede} até T_\infty. Sua espessura relativa em relação à espessura hidrodinâmica depende de \Pr. O número de Grashof, \displaystyle \text{Gr}_L=\tfrac{g\,\beta\,\Delta T\,L^3}{\nu^2}, indica quando o escoamento será laminar ( \text{Gr}\lesssim10^9) ou tenderá à transição/turbulência ( \text{Gr}\gtrsim10^9). O número de Rayleigh, \text{Ra}_L=\text{Gr}_L\,\Pr, controla a intensidade da convecção e aparece nas correlações de \text{Nu}_L, mostrando que quanto maior \text{Ra}_L, mais eficiente é a transferência de calor.

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