A água é bombeada continuamente para fora de um porão inundado, a uma velocidade de 5 m/s, através de uma mangueira uniforme de raio 1 cm. A mangueira passa por uma janela a 3 m acima do nível da água. Qual é a potência da bomba?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um porão que está inundado e a água está sendo bombeada para fora através de uma mangueira. A água sai da mangueira a uma velocidade de 5 m/s, e a mangueira passa por uma janela que está a 3 metros acima do nível da água. Nosso objetivo é descobrir qual é a potência que a bomba precisa ter para realizar esse trabalho. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de física como fluxo de água, potência e energia necessária para elevar a água a uma certa altura.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área da mangueira. Sabemos que a mangueira tem um raio de 1 cm, que precisamos converter para metros para manter as unidades consistentes.
Raio = 1 , cm = 0,01 , m
A área $ A $ da mangueira é dada por:
A

Passo 3

Agora, vamos calcular a vazão volumétrica $ Q $, que é o volume de água que sai da mangueira por segundo. Sabemos que a água está saindo a uma velocidade de 5 m/s.
Q

Passo 4

Para encontrar a potência necessária, precisamos considerar a energia que a bomba precisa fornecer para elevar a água a uma altura de 3 metros. A potência $ P $ é a energia por unidade de tempo. A energia necessária para elevar um volume $ Q $ de água a uma altura $ h $ é dada por:
P
Onde:
  • $ \rho $ é a densidade da água ($ 1000 , kg/m^3 $),
  • $ g $ é a aceleração da gravidade ($ 9,81 , m/s^2 $),
  • $ h $ é a altura (3 m),
  • $ Q $ é a vazão volumétrica.

Passo 5

Vamos substituir os valores na fórmula:
P = 1000 , kg/m^3 times 9,81 , m/s^2 times 3 , m times 0,0005pi , m^3/s
P = 1000 times 9,81 times 3 times 0,0005pi
P = 1000 times 9,81 times 3 times 0,00157 (usando , pi approx 3,14)
P approx 1000 times 9,81 times 3 times 0,00157 approx 46,35 , W

Resposta

A potência da bomba necessária é aproximadamente 46,35 watts.

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