"
(a) Com que velocidade deve ser lançada uma bola verticalmente a partir do solo para que atinja uma altura máxima de 50 m?
(b) Por quanto tempo permanece no ar?
"

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que é sobre movimento vertical. A pergunta tem duas partes:
(a) Precisamos descobrir com que velocidade a bola deve ser lançada para alcançar uma altura máxima de 50 metros.
(b) Depois, queremos saber por quanto tempo a bola vai ficar no ar.
Para isso, vamos usar as equações de movimento uniformemente acelerado, considerando a aceleração da gravidade.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a). Quando a bola atinge a altura máxima, sua velocidade final é zero porque ela para momentaneamente antes de começar a cair. Podemos usar a seguinte equação de movimento:
vf^2 = vi^2 + 2 cdot a cdot De
Onde:
  • $ v_f $ é a velocidade final (0 m/s no ponto mais alto),
  • $ v_i $ é a velocidade inicial que queremos encontrar,
  • $ a $ é a aceleração (neste caso, a aceleração da gravidade, que é aproximadamente $ -9,8 , m/s^2 $),
  • $ \Delta y $ é a altura máxima (50 m).

Passo 3

Vamos isolar $ v_i $ na equação:
vi
Simplificando:
0 = vi^2 + 2 cdot (-9,8) cdot 50
0 = vi^2 - 980
vi^2 = 980
Então, a velocidade inicial necessária é aproximadamente 31,3 m/s.

Passo 4

Agora, vamos para a parte (b), que pede o tempo total no ar. Primeiro, vamos calcular o tempo que a bola leva para alcançar a altura máxima. Podemos usar a seguinte equação:
vf = vi + a cdot t
Sabemos que $ v_f = 0 $, $ v_i = 31,3 , m/s $, e $ a = -9,8 , m/s^2 $. Substituindo:
vf = 0
vi = 31,3 , m/s
a = -9,8 , m/s^2
Esse é o tempo para a bola subir até a altura máxima. Para encontrar o tempo total no ar, multiplicamos por 2 (subida e descida):
0 = 31,3 + (-9,8) cdot t

Resposta

(a) A velocidade inicial necessária é aproximadamente 31,3 m/s.
(b) A bola permanece no ar por cerca de 6,38 segundos.

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