A água é bombeada entre dois reservatórios em uma tubulação com as seguintes características:
. A curva característica da bomba de fluxo radial é aproximada pela fórmula:
Em que
está em metros e Q em
;
Determine a vazão de descarga e a carga da bomba para as seguintes situações:
(b)
, com duas bombas idênticas operando em paralelo;
Determine a vazão de descarga e a carga da bomba para as seguintes situações:
(b)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem um sistema de bombeamento onde a água é transportada entre dois reservatórios por uma tubulação com diâmetro $ D = 300 , mm $, comprimento $ L = 70 , m $, fator de atrito $ f = 0,025 $ e perdas de carga menores $ \Sigma K = 2,5 $. A curva característica da bomba é dada por:
Onde $ H_p $ é a altura da bomba em metros e $ Q $ é a vazão em $ m^3/s $. A questão quer que a gente determine a vazão de descarga e a carga da bomba quando a diferença de altura entre os reservatórios é $ Z2 - Z1 = 15 , m $ e temos duas bombas idênticas funcionando em paralelo. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de perda de carga em tubulações, curvas características das bombas e como se comportam bombas em paralelo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular a perda de carga na tubulação. A perda de carga total $ H_f $ é dada pela soma das perdas por atrito e pelas perdas localizadas (como curvas, válvulas, etc.). A fórmula para perda de carga por atrito é:
Onde:
- $ f $ é o fator de atrito,
- $ L $ é o comprimento da tubulação,
- $ D $ é o diâmetro da tubulação,
- $ v $ é a velocidade do fluido,
- $ g $ é a aceleração da gravidade,
- $ \Sigma K $ é a soma dos coeficientes de perda localizada.
Mas, como a vazão $ Q $ está relacionada com a velocidade pela fórmula $ Q = v \cdot A $, onde $ A $ é a área da seção transversal da tubulação, podemos reescrever a perda de carga em termos de $ Q $.
Passo 3
Vamos calcular a área da seção transversal da tubulação. Primeiro, convertemos o diâmetro para metros:
A área $ A $ é:
Agora, podemos relacionar a velocidade $ v $ com a vazão $ Q $:
Passo 4
Substituindo $ v $ na fórmula da perda de carga, temos:
Vamos simplificar isso:
Agora, temos a perda de carga em função da vazão $ Q $.
Passo 5
Sabemos que a altura total que a bomba precisa vencer é a soma da diferença de elevação entre os reservatórios $ Z2 - Z1 $ e a perda de carga $ H_f $:
Onde $ \Delta Z = 15 , m $.
Como temos duas bombas idênticas em paralelo, a vazão total $ Q_{total} $ será o dobro da vazão de uma bomba, ou seja, $ Q_{total} = 2Q $. Porém, a altura da bomba $ H_p $ permanece a mesma para ambas.
Passo 6
Agora, substituímos $ H_f $ na equação da bomba:
E igualamos à curva da bomba:
Passo 7
Vamos calcular os termos:
Primeiro, o fator:
Então:
Agora, o denominador:
Portanto:
Passo 8
Agora igualamos as duas equações de $ H_p $:
Vamos reorganizar:
Simplificando:
Multiplicando tudo por -1 para facilitar:
Passo 9
Agora temos uma equação quadrática na forma:
Onde:
- $ a = 195,66 $
- $ b = -10,7 $
- $ c = -7,9 $
Usamos a fórmula de Bhaskara:
Substituindo:
Calculando o discriminante:
Então:
Vamos considerar a solução positiva:
Passo 10
Como temos duas bombas em paralelo, a vazão total $ Q_{total} = 2Q $:
Agora, substituímos $ Q $ na curva da bomba para encontrar a carga $ H_p $:
Resposta
A vazão de descarga é aproximadamente $ 0,46 , m^3/s $ e a carga da bomba é $ 19,5 , m $.