A água é bombeada entre dois reservatórios em uma tubulação com as seguintes características: D=300 mm, L=70 m, f=0,025, Sigma K=2,5. A curva característica da bomba de fluxo radial é aproximada pela fórmula:
Hp=22,9+10,7 Q-111 Q^2
Em que Hp está em metros e Q em m^3 / s;
Determine a vazão de descarga e a carga da bomba para as seguintes situações:
(b) Z2-Z1=15 m, com duas bombas idênticas operando em paralelo;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem um sistema de bombeamento onde a água é transportada entre dois reservatórios por uma tubulação com diâmetro $ D = 300 , mm $, comprimento $ L = 70 , m $, fator de atrito $ f = 0,025 $ e perdas de carga menores $ \Sigma K = 2,5 $. A curva característica da bomba é dada por:
D = 300 , mm
Onde $ H_p $ é a altura da bomba em metros e $ Q $ é a vazão em $ m^3/s $. A questão quer que a gente determine a vazão de descarga e a carga da bomba quando a diferença de altura entre os reservatórios é $ Z2 - Z1 = 15 , m $ e temos duas bombas idênticas funcionando em paralelo. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de perda de carga em tubulações, curvas características das bombas e como se comportam bombas em paralelo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular a perda de carga na tubulação. A perda de carga total $ H_f $ é dada pela soma das perdas por atrito e pelas perdas localizadas (como curvas, válvulas, etc.). A fórmula para perda de carga por atrito é:
Hf
Onde:
  • $ f $ é o fator de atrito,
  • $ L $ é o comprimento da tubulação,
  • $ D $ é o diâmetro da tubulação,
  • $ v $ é a velocidade do fluido,
  • $ g $ é a aceleração da gravidade,
  • $ \Sigma K $ é a soma dos coeficientes de perda localizada.
Mas, como a vazão $ Q $ está relacionada com a velocidade pela fórmula $ Q = v \cdot A $, onde $ A $ é a área da seção transversal da tubulação, podemos reescrever a perda de carga em termos de $ Q $.

Passo 3

Vamos calcular a área da seção transversal da tubulação. Primeiro, convertemos o diâmetro para metros:
D = 300 , mm = 0,3 , m
A área $ A $ é:
A
Agora, podemos relacionar a velocidade $ v $ com a vazão $ Q $:
A = pi cdot ( D2 )^2 = pi cdot ( 0,32 )^2 approx 0,0707 , m^2

Passo 4

Substituindo $ v $ na fórmula da perda de carga, temos:
v
Vamos simplificar isso:
Hf = f cdot LD cdot ( QA )^22g + Sigma K cdot ( QA )^22g
Agora, temos a perda de carga em função da vazão $ Q $.

Passo 5

Sabemos que a altura total que a bomba precisa vencer é a soma da diferença de elevação entre os reservatórios $ Z2 - Z1 $ e a perda de carga $ H_f $:
Z2 - Z1
Onde $ \Delta Z = 15 , m $.
Como temos duas bombas idênticas em paralelo, a vazão total $ Q_{total} $ será o dobro da vazão de uma bomba, ou seja, $ Q_{total} = 2Q $. Porém, a altura da bomba $ H_p $ permanece a mesma para ambas.

Passo 6

Agora, substituímos $ H_f $ na equação da bomba:
Hf
E igualamos à curva da bomba:
Hp = De

Passo 7

Vamos calcular os termos:
Primeiro, o fator:
0,025 cdot 700,3 = 5,833
Então:
5,833 + 2,5 = 8,333
Agora, o denominador:
2 cdot 9,81 cdot (0,0707)^2 approx 0,0985
Portanto:
Hp = 15 + 8,333 cdot Q^20,0985 approx 15 + 84,66 Q^2

Passo 8

Agora igualamos as duas equações de $ H_p $:
Hp
Vamos reorganizar:
22,9 + 10,7 Q - 111 Q^2 = 15 + 84,66 Q^2
Simplificando:
22,9 - 15 + 10,7 Q - 111 Q^2 - 84,66 Q^2 = 0
Multiplicando tudo por -1 para facilitar:
7,9 + 10,7 Q - 195,66 Q^2 = 0

Passo 9

Agora temos uma equação quadrática na forma:
a Q^2 + b Q + c = 0
Onde:
  • $ a = 195,66 $
  • $ b = -10,7 $
  • $ c = -7,9 $
Usamos a fórmula de Bhaskara:
a = 195,66
Substituindo:
b = -10,7
Calculando o discriminante:
c = -7,9
Então:
Q = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Vamos considerar a solução positiva:
Q = 10,7 pm raiz(-10,7)^2 - 4 cdot 195,66 cdot (-7,9)2 cdot 195,66

Passo 10

Como temos duas bombas em paralelo, a vazão total $ Q_{total} = 2Q $:
Qtotal = 2Q
Agora, substituímos $ Q $ na curva da bomba para encontrar a carga $ H_p $:
Qtotal = 2 times 0,23 approx 0,46 , m^3/s

Resposta

A vazão de descarga é aproximadamente $ 0,46 , m^3/s $ e a carga da bomba é $ 19,5 , m $.

Exercícios relacionados