A água é bombeada entre dois reservatórios em uma tubulação com as seguintes características: D=300 mm, L=70 m, f=0,025, Sigma K=2,5. A curva característica da bomba de fluxo radial é aproximada pela fórmula:
Hp=22,9+10,7 Q-111 Q^2
Em que Hp está em metros e Q em m^3 / s;
Determine a vazão de descarga e a carga da bomba para as seguintes situações:
(a) Z2-Z1=15m, com uma bomba em operação;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema de bombeamento de água entre dois reservatórios. A tubulação tem diâmetro Hp = 22,9 + 10,7 Q - 111 Q^2 , comprimento , fator de atrito e somatório das perdas de carga de acessórios . A bomba tem uma curva de altura de bombeamento dada por:
onde está em metros e em .
Queremos encontrar a vazão de descarga e a carga da bomba para a situação em que a diferença de altura entre os reservatórios é com a bomba em operação.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de hidráulica, especificamente a equação da bomba e as perdas de carga na tubulação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está acontecendo. A diferença de altura entre os reservatórios ( Hp = (Z2 - Z1) + hf ) é igual à altura que a bomba precisa vencer mais as perdas de carga na tubulação. Então, podemos escrever:
onde são as perdas de carga na tubulação.
Nosso objetivo é encontrar e , então precisamos relacionar essas equações.

Passo 3

Para achar as perdas de carga hf = f cdot L cdot v^22 cdot g cdot D + Sigma K cdot v^22 cdot g , usamos a equação de Darcy-Weisbach:
v = QA
Onde:
  • A = pi D^24 é o fator de atrito;
  • é o comprimento da tubulação;
  • é a velocidade do fluxo;
  • é a aceleração da gravidade ( );
  • é o diâmetro da tubulação;
  • são as perdas de carga de acessórios.
Precisamos relacionar a velocidade com a vazão . Sabemos que:
onde é a área da seção transversal da tubulação:

Passo 4

Vamos calcular a área A = pi D^24 = pi (0,3)^24 approx 0,0707, m^2 :
v = Q0,0707
Agora, a velocidade em termos de :

Passo 5

Substituindo hf = f cdot L cdot (Q0,0707)^22 cdot g cdot D + Sigma K cdot (Q0,0707)^22 cdot g na equação das perdas de carga:
hf = Q^2 ( f cdot L2 cdot g cdot D cdot (0,0707)^2 + Sigma K2 cdot g cdot (0,0707)^2 )
Vamos simplificar essa expressão:
C = f cdot L2 cdot g cdot D cdot (0,0707)^2 + Sigma K2 cdot g cdot (0,0707)^2
Calculando os coeficientes:
f cdot L2 cdot g cdot D cdot (0,0707)^2 = 0,025 cdot 702 cdot 9,81 cdot 0,3 cdot 0,005
Vamos calcular cada parte:
Primeira parte:
Sigma K2 cdot g cdot (0,0707)^2 = 2,52 cdot 9,81 cdot 0,005
Segunda parte:
0,025 cdot 702 cdot 9,81 cdot 0,3 cdot 0,005 = 1,750,02943 approx 59,4
Vamos calcular numericamente:
Primeira parte:
2,52 cdot 9,81 cdot 0,005 = 2,50,0981 approx 25,5
Segunda parte:
C = 59,4 + 25,5 = 84,9
Então, o coeficiente hf = 84,9 cdot Q^2 é:
Portanto:

Passo 6

Voltando à equação inicial:
Hp = (Z2 - Z1) + hf
Substituindo Hp = 15 + 84,9 cdot Q^2 :
Hp = 22,9 + 10,7 Q - 111 Q^2
Mas também sabemos que a curva da bomba é:
22,9 + 10,7 Q - 111 Q^2 = 15 + 84,9 Q^2
Agora, igualamos as duas expressões para :

Passo 7

Vamos rearranjar a equação para resolver para 22,9 + 10,7 Q - 111 Q^2 - 15 - 84,9 Q^2 = 0 :
(22,9 - 15) + 10,7 Q + (-111 - 84,9) Q^2 = 0
Simplificando os termos:
7,9 + 10,7 Q - 195,9 Q^2 = 0
-195,9 Q^2 + 10,7 Q + 7,9 = 0
Organizando:
195,9 Q^2 - 10,7 Q - 7,9 = 0
Multiplicando por -1 para facilitar:

Passo 8

Agora, temos uma equação quadrática na forma:
a Q^2 + b Q + c = 0
Onde:
  • Q = -b pm raizb^2 - 4ac2a
  • De
  • De
Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante ( ):

Passo 9

Calculando as raízes:
Q = 10,7 pm raiz6313,572 cdot 195,9
raiz6313,57 approx 79,45
Então:
Q1 = 10,7 + 79,45391,8 approx 90,15391,8 approx 0,23, m^3/s
Q2 = 10,7 - 79,45391,8 approx -68,75391,8 approx -0,175, m^3/s
Como a vazão não pode ser negativa, descartamos .

Resposta

A vazão de descarga é aproximadamente e a carga da bomba é .
Portanto:
  • Vazão de descarga
  • Carga da bomba

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