A água é bombeada entre dois reservatórios em uma tubulação com as seguintes características:
. A curva característica da bomba de fluxo radial é aproximada pela fórmula:
Em que
está em metros e Q em
;
Determine a vazão de descarga e a carga da bomba para as seguintes situações:
(a) Z2-Z1=15m, com uma bomba em operação;
Determine a vazão de descarga e a carga da bomba para as seguintes situações:
(a) Z2-Z1=15m, com uma bomba em operação;
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema de bombeamento de água entre dois reservatórios. A tubulação tem diâmetro
, comprimento
, fator de atrito
e somatório das perdas de carga de acessórios
. A bomba tem uma curva de altura de bombeamento dada por:
onde
está em metros e
em
.
Queremos encontrar a vazão de descarga
e a carga da bomba
para a situação em que a diferença de altura entre os reservatórios é
com a bomba em operação.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de hidráulica, especificamente a equação da bomba e as perdas de carga na tubulação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que está acontecendo. A diferença de altura entre os reservatórios (
) é igual à altura que a bomba precisa vencer mais as perdas de carga na tubulação. Então, podemos escrever:
onde
são as perdas de carga na tubulação.
Nosso objetivo é encontrar
e
, então precisamos relacionar essas equações.
Passo 3
Para achar as perdas de carga
, usamos a equação de Darcy-Weisbach:
Onde:
-
é o fator de atrito; -
é o comprimento da tubulação; -
é a velocidade do fluxo; -
é a aceleração da gravidade ( ); -
é o diâmetro da tubulação; -
são as perdas de carga de acessórios.
Precisamos relacionar a velocidade
com a vazão
. Sabemos que:
onde
é a área da seção transversal da tubulação:
Passo 4
Vamos calcular a área
:
Agora, a velocidade
em termos de
:
Passo 5
Substituindo
na equação das perdas de carga:
Vamos simplificar essa expressão:
Calculando os coeficientes:
Vamos calcular cada parte:
Primeira parte:
Segunda parte:
Vamos calcular numericamente:
Primeira parte:
Segunda parte:
Então, o coeficiente
é:
Portanto:
Passo 6
Voltando à equação inicial:
Substituindo
:
Mas também sabemos que a curva da bomba é:
Agora, igualamos as duas expressões para
:
Passo 7
Vamos rearranjar a equação para resolver para
:
Simplificando os termos:
Organizando:
Multiplicando por -1 para facilitar:
Passo 8
Agora, temos uma equação quadrática na forma:
Onde:
Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante (
):
Passo 9
Calculando as raízes:
Então:
Como a vazão não pode ser negativa, descartamos
.
Resposta
A vazão de descarga é aproximadamente
e a carga da bomba é
.
Portanto:
- Vazão de descarga
- Carga da bomba